Giải thích các bước giải:

a.Ta có $HE\perp AB\to \Delta BEH$ vuông tại $E$

   Gọi $I$ là trung điểm $BH\to (I,IE)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta BHE$

Tương tự $K$ là trung điểm $CH\to (K,KF)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta HFC$

$\to I,O,K$ thẳng hàng

Mặt khác $OI=OB-IB\to (I), (O)$ tiếp xúc trong tại $B$

                $OK=OC-KC\to (K), (O)$ tiếp xúc trong tại $C$

                $OK=OH+HK\to (I), (K)$ tiếp xúc ngoài tại $H$

b.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to AB\perp AC$

Mà $HE\perp AB, HF\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

c.Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H, HE\perp AB$

$\to AE.AB=AH^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $AF.AC=AH^2$

$\to AE.AB=AF.AC$

d.Ta có $\widehat{IEH}=\widehat{IHE}=90^o-\widehat{EHA}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}$

$\to \widehat{IEF}=\widehat{IEH}+\widehat{HEF}=\widehat{AEF}+\widehat{HEF}=\widehat{AEH}=90^o$

$\to EF$ là tiếp tuyến của $(I)$

Tương tự $EF$ là tiếp tuyến của $(H)$

e.Ta có $AEHF$ là hình chữ nhật

$\to EF=AH\le AO=R$

Dấu = xảy ra khi $EO\perp BC\to H\equiv O$