Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Đường trung tuyến $AI$ ứng với cạnh $BC\Rightarrow BI=CI$.

$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\,(\rm cmt)\\BI=CI\,(\rm cmt)\\AI\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right.\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\,(\rm c.c.c)$

b) $\Delta ABI=\Delta ACI\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ mà:

$\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^\circ$
$\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{\widehat{BIC}}2=\dfrac{180^\circ}2=90^\circ$
Vậy $AI\;\bot\;BC$.

c) $\widehat{AIB}=90^\circ\Rightarrow\Delta ABI$ vuông tại $I$.
Mà $BI=CI$ (cmt) và $BI+CI=BC=10\Rightarrow BI=CI=\dfrac{10}2=5$ (cm).
Xét tam giác vuông $\Delta ABI$ có $AB=13cm$ và $BI=5cm$.

Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$AB^2=AI^2+BI^2$

$\Rightarrow AI^2=AB^2-BI^2$

$\Rightarrow AI=\sqrt{AB^2-BI^2}$

$\Rightarrow AI =\sqrt{13^2-5^2}$

$\Rightarrow AI=\sqrt{144}$

$\Rightarrow AI=12(cm)$.

Vậy $AI=12$ cm.

d) *Kẻ đường trung tuyến $BD$ ứng với cạnh $AC$.

Vì hai đường trung tuyến $AI$ và $BD$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Ta có tính chất: Độ dài đoạn thẳng giữa đỉnh và trọng tâm của đường trung tuyến bằng $\dfrac23$ độ dài đường trung tuyến đó.

Ta có $BG=\dfrac23BD\Rightarrow BD-BG=BD-\dfrac23BD\Rightarrow DG=\dfrac13BD$.

$\Rightarrow 2DG=\dfrac23BD\Rightarrow BG=2DG$.

Xét tam giác vuông $\Delta BGI$ vuông tại $I\Rightarrow BG$ là cạnh huyền và $BI$ là cạnh góc vuông.

$\Rightarrow BI<BG$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông) mà $BG=2DG$.

$\Rightarrow BI<2DG$.

Vậy $BI<2DG$.