Đáp án:

a) $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{3}$

b) $V_{\text{khối cầu}} = \dfrac{9\pi a^3}{2}$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$SA\perp (ABC)$

$\to V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}\cdot SA$

$\to V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot AB\cdot AC\cdot SA$

$\to V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot a\sqrt2\cdot a \cdot 2a\sqrt3$

$\to V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{3}$

b) Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔABC$ vuông tại $A$ ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\to BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt3$

Gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\to OB = OC = OA = \dfrac12BC =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Từ $O$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABC)$

$\to d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trong $mp(SAO)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có:

$IO = \dfrac12SA = a\sqrt3$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔIOA$ vuông tại $O$ ta được:

$IA^2 = IO^2 + OA^2$

$\to R = IA = \sqrt{IO^2 + OA^2} = \sqrt{3a^2 + \dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{3a}{2}$

Ta được:

$V_{\text{khối cầu}} = \dfrac43\cdot\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi \left(\dfrac{3a}{2}\right)^3$

$\to V_{\text{khối cầu}} = \dfrac{9\pi a^3}{2}$