Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Gọi O là tâm của nửa đường tròn đường kính AB

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nha, có:

  AC và CM là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại C, nên:

          AC=CM ,

          OC là tia phân giác của góc AOM ⇔ góc AOC=Góc COM

          CO là tia phân giác của góc ACM ⇔ góc ACM = góc OCM

   BD và DM là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại D, nên:

          DM=BD

          DO là tia phân giác của góc MDB ⇔ góc MDO = góc BDO

          OD là tia phân giác của góc MOB ⇔ góc MOD = góc DOB

Lại có: ∠AOB = ∠AOC + ∠COM + ∠MOD + ∠DOB = $180^{o}$ 

                     = 2∠COD + 2∠COM = $180^{o}$ 

                     = 2.(∠COD + ∠COM) = $180^{o}$

                     = ∠COD + ∠COM      = $\frac{180^{o}}{2}$

                     = ∠COD + ∠COM      = $90^{o}$

 Mà ∠COD + ∠COM      = ∠DOC

 nên góc DOC = $90^{o}$  

Vậy góc DOC = $90^{o}$  (đpcm)

b) Ta có: CD = CM + MD

Mà CM = AC, DM = BD

Nên CD = CM + MD = AC + BD

Vậy CD = AC + BD (đpcm)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOC, có:

      $OM^{2}$ = CM.MD = AC.BD   {1} 

 Mà OM=R nên $OM^{2}$= $R^{2}$  (2)

 Từ (1) và (2), suy ra:  $R^{2}$ = AC.BD

Vậy $R^{2}$ = AC.BD (đpcm)