a) Xét `∆ABC` có :
`E` là trung điểm của `AB`
`F` là trung điểm của `BC`
`<=>` `EF` là đường trung bình của `∆ABC`.
`=>` `EF//AC` và `EF=\frac{1}{2}.AC` `(2)`
Xét `∆ADC` có : 
`H` là trung điểm của `AD`
`G` là trung điểm của `CD`
`<=>` `HG` là đường trung bình của `∆ADC`.
`=>`HG//AC` và `HG=\frac{1}{2}.AC` `(2)`
Từ `(1)(2)` `=>`EF//HG` và `EF=HG`.
Xét tứ giác `EFGH` có :
`EF//HG` `(CMT)`
`EF=HG` `(CMT)`
`=>` `EFGH` là hình bình hành.
Gọi `O` là giao điểm của `AC` và `BD`
`M` là giao điểm của `EF` và `BD`
Vì `AC⊥BD` `(GT)`
Mà `EF//AC` `(CMT)`
`=>` `EF⊥BD` `=>` `hat{M}=90°`
`=>` `hat{E}=90°` `(TCP)`
Vì hình bình hành `EFGH` có `hat{E}=90°`
`=>` `EFGH` là hình chữ nhật.
b) Vì `EF` là đường trung bình của `∆ABC` 
`=>` `EF=\frac{1}{2}.AC`
 `=>` `EF=\frac{1}{2}.6`
 `=>` `EF=3` `(cm)`
Vì `EH` là đường trung bình của `∆ABD`
`=>` `EH=\frac{1}{2}.BD`
`=>` `EH=\frac{1}{2}.4`
`=>` `EH=2` `(cm)`
`S_{EFGH}=EF.EH=3.2=6` `(cm²)`

@vietkiku

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $E,F,G,H$ là trung điểm $AB, BC, CD, DA$

$\to EF, FG, GH, HE$ là đường trung bình $\Delta ABC, \Delta CBD, \Delta CDA, \Delta ABD$

$\to EF//AC//HG, EH//BD//FG$

$\to EFGH$ là hình bình hành 

Mà $BD\perp AC\to EF\perp EH\to EFGH$ là hình chữ nhật

b.Ta có $EF, FG$ là đường trung bình $\Delta ABC, \Delta BCD$

$\to EF=\dfrac12AC=3, FG=\dfrac12BD=2$

$\to S_{EFGH}=EF\cdot FG=6$