`a)`

`ΔABC` nội tiếp `1/2` đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ ΔABC` vuông tại `C`

`⇒ `  `\hat{ACB}` `=90^o` hay  `\hat{MCN}``=90^o`

Xét tứ giác `OMCN` có

`\hat{MCN}``=90^o` `(cmt)`

`\hat{CMO}``=90^o` `(OM⊥ AC)`

`\hat{CNO}``=90^o` `(ON⊥ AB)`

`⇒` Tứ giác `OMCN` là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết )

`b)`

 Xét `ΔABC` vuông tại `C` đường cao `CH` có

 `AC²=AH.AB (1) `(Hệ thức lượng trong `Δ` vuông)

`AE` là tiếp tuyến của `1/2` đường tròn `(O)` tại `A`

 `⇒AE⊥AB`

 `⇒ΔAEB` vuông tại `A`

Xét `ΔAEB` vuông tại `A` có `AC` là đường cao `(AC⊥EB)` có

 `AC² =EB.CB (2)` (Hệ thức lượng trong `Δ` vuông)

Từ `(1)` và `(2)` `⇒AH.AB=EB.CB` (vì cùng `=AC²`)

`c)`

Ta có `OB=OC` (bán kính của `1/2` đường tròn tâm O)

`⇒ΔOBC` cân tại `O`

Lại có `ON` là đường cao

`⇒ON` đồng thời là đường phân giác

`⇒ ``\hat{O_1} = \hat{O_1} ` 

Xét `ΔFBO` và `ΔFCO` có 

  `OB=OC` (bán kính của `1/2` đường tròn tâm O)

  `\hat{O_1} = \hat{O_1} ` 

   `OF` chung

`⇒ΔFBO =ΔFCO (c.g.c)`

`⇒ ` `\hat{FBO} = \hat{FCO}` (2 góc tương ứng)

Mà `\hat{FBO} = 90^o (cmt)` 

`⇒` `\hat{FCO} = 90^o ` 

`⇒ OC⊥IF` tại `C`

Mà `C∈ ` `1/2` đường tròn tâm O ; `C∈IF`

`⇒ IF` là tiếp tuyến của `1/2` đường tròn tâm `O` tại `C`