a)

Xét $\Delta BEA$ và $\Delta CFA$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\widehat{BEA}=\widehat{CFA}=90{}^\circ $

Nên $\Delta BEA\backsim\Delta CFA\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BDH$, ta có:

+   $\widehat{EBC}$ là góc chung

+   $\widehat{BEC}=\widehat{BDH}=90{}^\circ $

Nên $\Delta BEC\backsim\Delta BDH\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{BC}{BH}\Rightarrow BE.BH=BC.BD$

c)

Xét $\Delta CFB$ và $\Delta CDH$, ta có:

+   $\widehat{FCB}$ là góc chung

+   $\widehat{CFB}=\widehat{CDH}=90{}^\circ $

Nên $\Delta CFB\backsim\Delta CDH\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CB}{CH}\Rightarrow CF.CH=CB.CD$

d)

Ta có $\begin{cases}BE.BH=BC.BD\\CF.CH=CB.CD\end{cases}$ (cmt)

$\Rightarrow BE.BH+CF.CH=BC\left( BD+CD \right)=BC.BC=B{{C}^{2}}$