Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Theo giả thiết MA⊥CD mà H, K là trung điểm AC; AD ⇒ OH⊥AC; O'K⊥AD ⇒ MA//OH//O'K mà MO = MO' ⇒ AH = AK

b) AP là đường kính của (O) ⇒ PC⊥AC (1)

AP là đường kính của (O) ⇒ AB⊥BP ⇒ AP⊥BQ ⇒ AQ là đường kính của (O') ⇒ QD⊥AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CDQP là hình thang vuông ⇒ CD < PQ

c) Giả sử MA = MO = MO' ⇒ ΔAOO' vuông tại A (*)

Theo giả thiết thì AB⊥OO'. Gọi I là giao điểm của AB với OO' ⇒ IA = IB = AB/2 nên:

1/AB² = 1/(4IA²) = (1/4)(1/OA² + 1/O'A²) = (1/4)(1/R² + 1/R'²) = (R² + R'²)/(4R²R'²) (3)

Mặt khác vẽ O'G⊥OE tại G ⇒ EFO'G là hcn ⇒ EF² = O'G² = OO'² - OG² = (OA² + OA'²) - (OE - GE)² =

(OA² + OA'²) - (OE - OF)² = (R² + R'²) - (R- R')² = 2RR' (4)

Lấy (3).(4) vế theo vế : EF²/AB² = (2RR')(R² + R'²)/(4R²R'²) = (R² + R'²)/(2RR') ≥ 1 ⇔ EF ≥ AB (**)

Dấu = xảy ra khi đồng thời xảy ra điều kiện (*) và (**) hay khi ΔAOO' vuông tại A và R = R' hay khi OO' = R√2 = R'√2