Đáp án:

 1) $C \left( -\dfrac{10}{3}, 0 \right)$.

2) $S_{ABC} = \dfrac{40}{3}$ (đvdt), $P_{ABC} = \dfrac{10\sqrt{10} + 2\sqrt{130}}{3}$ (đvđd).

3) $D = \left( \dfrac{8}{3}, -2 \right)$

Giải thích các bước giải:

1) Gọi $C(x,0)$. Khi đó

$\vec{BC} = (x+2, -4)$ và $\vec{BA} = (6, -2)$

Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên ta có $\vec{BC} \perp \vec{BA}$. Suy ra

$\vec{BC} . \vec{BA} = 0$

$\Leftrightarrow 6(x+2) + 8 = 0$

$\Leftrightarrow x = -\dfrac{10}{3}$

Vậy $C \left( -\dfrac{10}{3}, 0 \right)$.

2) Khi đó ta có

$BC = \sqrt{\left( -\dfrac{10}{3} + 2 \right)^2 + 16} = \dfrac{4\sqrt{10}}{3}$

và

$BA = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$.

Áp dụng ĐL Pythagore ta suy ra

$AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \dfrac{2\sqrt{130}}{3}$

Suy ra

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} BC.BA = \dfrac{1}{2} . \dfrac{4\sqrt{10}}{3} . 2\sqrt{10} = \dfrac{40}{3}$ (đvdt)

và

$P_{ABC} = \dfrac{4\sqrt{10}}{3} + 2\sqrt{10} + \dfrac{2\sqrt{130}}{3} = \dfrac{10\sqrt{10} + 2\sqrt{130}}{3}$.

3) Gọi $D(x,y)$. Khi đó ta có

$\vec{CD} = \left( x + \dfrac{10}{3}, y \right)$.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B} = 90^{\circ}$. Do đó để tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ phải là hình bình hành. Do đó ta phải có

$\vec{BA} = \vec{CD}$

$\Leftrightarrow (6, -2) = \left( x + \dfrac{10}{3}, y \right)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{8}{3},\\ y = -2 \end{cases}$.

Vậy $D = \left( \dfrac{8}{3}, -2 \right)$ thì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.