a) Vì `E` đối xứng với `H` qua `D`

nên `D` là trung điểm của `HE`

Ta có:

Tứ giác `AHCE` có hai đường chéo `HE` và `AC` cắt nhau tại trung điểm `D` của mỗi đường

`=>` `AHCE` là hình bình hành

mà `AH` $\bot$ `HC`

nên `AHCE` là hình chữ nhật

b) Vì `AHCE` là hình chữ nhật

nên `AE`$\parallel$`HC` hay `AE`$\parallel$`IH`

Xét tứ giác `AEHI` có:

`AE`$\parallel$`IH` 

`AI`$\parallel$`HE`

Do đó `AEHI` là hình bình hành

c) Ta có: `AE=HC`    (AHCE là hình chữ nhật)

mà  AE= HI (AEHI là hình bình hành)

`⇒HC=HI `

Xét Δ IHA và Δ CHA có:

`HI` `=` `HC` (cmt)

$\widehat{IHA}$ = $\widehat{CHA}$ (=90 ° vì `AH` là đường cao của Δ ABC)

`HA` là cạnh chung 

`⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)`

⇒$\widehat{HAC}$= $\widehat{HAI}$ `( hai góc tương ứng)`

⇒ `AK` là tia phân giác của $\widehat{IAC}$

d) Xét tứ giác `CAIK` có:

`HI=HC``(cmt)`

`AH=HK (gt)

⇒ Hai đường chéo `CI` và `AK` cắt nhau tại trung điểm `H` của mỗi đường

⇒ `CAIK` là hình bình hành

Hình bình hành`CAIK` có đường chéo `AK` là đường phân giác của $\widehat{IAC}$ (cmt tại câu c )

⇒ `CAIK` là hình thoi 

Hình thoi `CAIK` là hình vuông (có góc = 90°)

⇒ `AK =IC `

⇒` AH =HC`

⇒ `AH` vừa là đường cao,đường trung tuyến của ΔABC

⇒ ΔABC là Δ vuông, cân tại A

Hình  chữ nhật `AHCE` có hai cạnh kề bằng nhau ( `AH` = `HC`) 

⇒ `AHCE` là hình vuông 

Vậy `ΔABC` là `Δ` `vuông` và cân tại $\widehat{A}$

⇒ tứ giác `CAIK` là hình vuông 

⇒ tứ giác `AHCE` là hình vuông

$@FANCONANANIME$