`a)` Theo đề bài, `x=-1` là nghiệm của PT nên ta có :

`(-1)^2 - 2(m+1)(-1) + 2m + 10 = 0`

`⇔ 1 +2m + 2 + 2m + 10 = 0`

`⇔ 4m + 13 = 0`

`⇔ 4m = -13`

`⇔ m = (-13)/4`

Ta có `Δ = 4(m^2 + 2m + 1) - 4 . 1 . (2m + 10) = 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 40 = 4m^2 - 36 = 4(m^2 - 9) = 4(m-3)(m+3)`

Để PT có hai nghiệm thì `Δ ge 0 ⇔ 4(m-3)(m+3) ge 0`

`TH1: {(m-3ge 0),(m+3ge0):} ⇔ {(m ge 3),(m ge - 3):}⇒ m ge 3`

`TH2: {(m-3 le 0),(m+3 le 0):} ⇔ {(m le 3),(m le -3):} ⇒m le -3`

`⇒` PT có hai nghiệm khi `m ge 3` hoặc `m le -3`

Áp dụng hệ thức Vi - ét, ta có :

`{(x_{1} + x_{2} = (-b)/a = 2(m+1)= 2m + 2(1) ),(x_{1}x_{2}=c/a =2m + 10):}`

+) Giả sử `x_{1} = -1` là nghiệm của PT và khi đó `m= (-13)/4`, thay vào PT (1), ta được :

`-1 + x_{2} = 2 . (-13)/4 + 2`

`⇔ -1 + x_{2} = -9/2`

`⇔ x_{2} = (-7)/2`

Vậy nghiệm còn lại của PT là `(-7)/2`.

KL: Vậy với `m = (-13)/4` thì PT có hai nghiệm là : `x_{1} = -1 ; x_{2} = (-7)/2`

b) Ta có PT : `x^2 - 2(m+1)x + 2m + 10 = 0`

Ta có `Δ = 4(m-3)(m+3)` ( theo phần a)

Để PT có nghiệm kép thì

`Δ = 0`

`⇔ 4(m-3)(m+3)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m-3=0\\m+3=0\end{array} \right.\) 

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=-3\end{array} \right.\) 

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=-3\end{array} \right.\) thì PT có nghiệm kép.

Nghiệm kép của PT là :

`x_{1} = x_{2} = (-b)/(2a) = (2(m+1))/2 = m +1`

KL : Vậy nghiệm kép của PT là `x_{1} = x_{2} = m + 1`