$1)a)BD, AC$ là tiếp tuyến đường tròn $O$

$=>BD \perp AB; AC \perp AB\\ =>BD//AC$

Xét $\Delta DBO$ là $\Delta DMO$

$DO:$ chung

$BO=MO=R\\ \widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^o\\ =>\Delta DBO = \Delta DMO\\ =>\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Tương tự $\Delta CMO = \Delta CAO$

$=>\widehat{COM}=\widehat{O_3}\\ \widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{COM}+\widehat{O_3}=180^o\\ <=>2(\widehat{O_2}+\widehat{COM})=180^o\\ <=>\widehat{O_2}+\widehat{COM}=90^o\\ <=>\widehat{COD}=90^o$

$b)$Gọi $F$ là trung điểm $DO$

$\Delta DBO$ vuông có trung tuyến $BF$ ứng với cạnh huyền

$=>DF=BF=FO$

Tương tự có $MF=BF=FO$

$=>DF=BF=FO=MF$

$=>D,B,O,M$ cùng nằm trên 1 đường tròn bán kính $OF$

$c)\Delta DBO = \Delta DMO\\ =>DB=DM\\ \Delta CMO = \Delta CAO\\ =>CM=CA\\ CD=DM+CM=CA+DB$

$d)AC.BD=CM.DM=OM^2=R^2$(Hệ thức lượng trong tam giác)

$e)$Gọi $E$ là trung điểm $CD$

Hình thang $BDCA$ có $E$ là trung điểm $CD, O$ là trung điểm $BA$

$=>OE$ là đường trung bình hình thang $BDCA$

$=>OE//BD$

Mà $BD \perp AB$

$=>OE \perp AB(1)$

$\Delta COD$ vuông tại $O$ có $OE$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$=>OE=ED=EC$

$=>O,C,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CD(2)$

Từ $(1)(2)=>AB$ là trung tuyến đường tròn đường kính $CD$

g)Xét $\Delta BDN$ và $\Delta CAN$

$\widehat{BDN}=\widehat{CAN}(BD//AC)\\ \widehat{DBN}=\widehat{ACN}(BD//AC)\\ => \Delta BDN$ đồng dạng $\Delta CAN$

$=>\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DN}{NA}\\ \dfrac{DM}{MC}=\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DN}{NA}=>MN//AC$(Talet đảo)