`a)` 

+)Vì $OA\perp BC$ tại $H$

`=>H` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc dây cung tại trung điểm dây đó)

`=>OA` là đường trung trực của $BC$

`=>AB=AC`

+) $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>\hat{ABO}=90°`

Xét $∆ABO$ và $∆ACO$ có:

*$OA$ chung 

*$OB=OC=R$

*$AB=AC$ (c/m trên)

`=>∆ABO=∆ACO(c-c-c)`

`=>\hat{ABO}=\hat{ACO}`

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>AC`$\perp OC$

`=>AC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ (đpcm)

`b)`

Vì $B$ thuộc $(O)$ đường kính $CD$

`=>\hat{CBD}=90°`

`=>BC`$\perp BD$

Mà $OA\perp BC$ (gt)

`=>BD` // $OA$ (đpcm)

`c)`

+) `AB=AC=>∆ABC` cân tại $A$

`AO=2R;OB=R`

+) Áp dụng tỉ số lượng giác vào $∆ABO$ vuông tại $B$ ta có:

`sinBAO={OB}/{AO}=R/{2R}=1/ 2`

`=>\hat{BAO}=30°`

+) $AB;AC$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $A$ 

`=>`$AO$ là phân giác của `\hat{BAC}`

`=>\hat{BAC}=2\hat{BAO}=2.30°=60°`

$∆ABC$ cân tại $A$ có `\hat{BAC}=60°` nên $∆ABC$ đều (đpcm)