Đáp án:

$B.\,\dfrac{81\sqrt{23}}{8}$

Giải thích các bước giải:

Xét hình nón đỉnh $S$ có chiều cao $h = 9$, đáy là đường tròn tâm $O$ bán kính $r = 6$ là hình chóp thoả mãn đề bài.

Khi đó, $mp(P)$ đi quad $S$ cắt đường tròn đáy một dây cung $AB$, thiết diện tạo thành là $∆SAB$ cân tại $S$

Gọi $I$ là trung điểm dây cung $AB$

$\to OI\perp AB$ (định lý đường kính - dây cung)

mà $AB\perp SO$ ($SO$ là chiều cao hình nón)

nên $AB\perp (SOI)$

Trong $mp(SOI)$ kẻ $OH\perp SI$

$\to AB\perp OH$

$\to OH\perp (SAB)$

$\to OH = d(O;(SAB))= d(O;(P))= 3$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SOI$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

$+)\quad \dfrac{1}{OH^2} =\dfrac{1}{SO^2} +\dfrac{1}{OI^2}$

$\to OI =\dfrac{OH.SO}{\sqrt{SO^2 - OH^2}}$

$\to OI =\dfrac{3.9}{\sqrt{9^2 - 3^2}}=\dfrac{9\sqrt2}{4}$

$+)\quad OH.SI = SO.OI$

$\to SI =\dfrac{SO.OI}{OH}$

$\to SI =\dfrac{9\cdot\dfrac{9\sqrt2}{4}}{3}= \dfrac{27\sqrt2}{4}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$OA^2 = AI^2 + OI^2$

$\to AI = \sqrt{OA^2 - OI^2}$

$\to AI =\sqrt{6^2 - \left(\dfrac{9\sqrt2}{4}\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{46}}{4}$

$\to AB =2AI = \dfrac{3\sqrt{46}}{2}$

Ta được:

$S_{SAB}=\dfrac12SI.AB$

$\to S_{SAB}=\dfrac12\cdot\dfrac{27\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{3\sqrt{46}}{2}$

$\to S_{SAB}=\dfrac{81\sqrt{23}}{8}$