Đáp án:

a) Xét tứ giác ABHD có:

ˆBAD=ˆADH=ˆBHD=900BAD^=ADH^=BHD^=900 (gt)

⇒ABHD⇒ABHD là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

Lại có AB=ADAB=AD nên ABHDABHD là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).

b) ABHD là hình vuông nên ˆABH=900ABH^=900.

Xét ΔABMΔABM và ΔCMHΔCMH có:

ˆABM=ˆCHM=900ABM^=CHM^=900;

BM=HM(gt)BM=HM(gt);

AB=HC=12CDAB=HC=12CD.

⇒ΔABM=ΔCHM(g.c.g)⇒ΔABM=ΔCHM(g.c.g).

⇒AM=CM⇒AM=CM (2 cạnh tương ứng).

Mà A, M, C thẳng hàng.

Vậy M là trung điểm của AC.

c) ΔABM=ΔCHM(cmt)ΔABM=ΔCHM(cmt)

⇒ˆBAM=ˆHCM⇒BAM^=HCM^ (2 góc tương ứng) (1)

Ta có: {ˆBAM+ˆMAD=900ˆADP+ˆMAD=900⇒ˆBAM=ˆADP{BAM^+MAD^=900ADP^+MAD^=900⇒BAM^=ADP^  (2)

Xét tam giác CDM có:

Đường cao MH đồng thời là trung tuyến nên ΔCDMΔCDM cân tại M

⇒ˆHCM=ˆHDM⇒HCM^=HDM^ (2 góc ở đáy) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆADP=ˆHDM⇒ADP^=HDM^.

Xét ΔADPΔADP và ΔHDQΔHDQ có:

ˆADP=ˆHDM(cmt);ADP^=HDM^(cmt);

AD=HDAD=HD (do ABHD là hình vuông).

ˆDAP=ˆDHQ=450DAP^=DHQ^=450  (do ABHD là hình vuông).

⇒ΔADP=ΔHDQ(g.c.g)⇒ΔADP=ΔHDQ(g.c.g)

d) Xét ΔABPΔABP và ΔHDQΔHDQ có:

AB=HDAB=HD (do ABHD là hình vuông)

AP=HQAP=HQ (do ΔADP=ΔHDQΔADP=ΔHDQ)

ˆBAP=ˆDHQBAP^=DHQ^ (so le trong do AB∥HDAB∥HD)

⇒ΔABP=ΔHDQ(c.g.c)⇒ΔABP=ΔHDQ(c.g.c)

⇒BP=DQ⇒BP=DQ.

Chứng minh tương tự ΔADP=ΔHBQ⇒DP=BQΔADP=ΔHBQ⇒DP=BQ

⇒DPBQ⇒DPBQ là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau).

Mà DP=DQDP=DQ (do ΔADP=ΔHDQ(cmt)ΔADP=ΔHDQ(cmt))

Vậy BPDQ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).

Giải thích các bước giải: