Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có đồ thị (P)$y$=$m^{2}$$x^{2}$$-$$2(m+1)x$$-$ $m^{2}+2m+2$ luôn có $a+b+c$=0 nên đồ thi $(P)$ luôn đi qua điểm $A(1;0)$. Gọi đường thẳng $(d)$: $y=ax+b$ đi qua A và cắt đường thẳng $y=\frac{-1}{2}x-1$  tại điểm có tung độ bằng 2.

Gọi B là điểm đó $2=$ $\frac{-1}{2}x-1$ ⇒ $x=-3$. Ta có hệ phương trình $\left \{ {{a+b=0} \atop {-3a+b=2}} \right.$ . Vậy $(d):y=\frac{-1}{2}x+$ $\frac{1}{2}$ 

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$$m^{2}$ $x^{2}$$-$($2m+2$$-$ $\frac{1}{2}$)$x$$-$ $m^{2}+2m+$ $\frac{1}{2}$ .

Vì m khác 0 do cắt tại hai điểm phân biệt và có $a+b+c$=0 nên phương trình có

$E(1;0)$ và

F($-1+$$\frac{2}{m}$$-$ $\frac{1}{2m^{2}}$ ;$\frac{-1}{m}+$ $\frac{1}{4m^{2}})$

Ta có OI=$\frac{\sqrt{29}}{6}$  nên $OI^{2}$= $\frac{\sqrt{29}}{36}$ nên $\sqrt{x_{I}^{2}+y_{I}^{2}}$ . Với I($\frac{1}{m}-$ $\frac{1}{4m^2}$ ;$\frac{-1}{2m}$+ $\frac{1}{8m^2}$ ). ⇔$\frac{1}{4m^2}$+ $\frac{1}{64m^2}-$ $\frac{1}{32m^3}$+ $\frac{1}{m^2}$+ $\frac{1}{16m^2}$- $\frac{1}{8m^3}$ =$\frac{29}{36}$ . Giải phương trình ta được ba nghiệm thỏa (loại m=0). Nghiệm xấu :(