Giải thích các bước giải:

a.Ta có $A,E$ đối xứng qua $OM\to OM$ là trung trực của $AE\to OE=OA=R\to E\in (O)$

Mặt khác $\widehat{MEO}=\widehat{MAO}=90^o$

$\to ME$ là tiếp tuyến của $(O)$

b.Ta có $OM$ là trung trực của $AE, I\in OM\to IA=IE\to\Delta IAE$ cân tại $I$

Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{MAI}=\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{MAE}$

Tương tự $EI$ là phân giác $\widehat{MEA}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAE$

c.Ta có $ON\perp EB\to ON$ là trung trực của $EB\to OP$ là trung trực của $EB$

$\to E,B$ đối xứng qua $OP\to\widehat{PBO}=\widehat{PEO}=90^o$

$\to PB\perp AB$

$\to PB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Lại có $AM\perp AB\to PBAM$ là hình thang vuông

$\to MP\ge AB$

Lại có $OE\perp MP\to ME.EP=OE^2=R^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có:

$S_{OMP}=\dfrac12OE\cdot MP=\dfrac12R\cdot (ME+EP)\ge \dfrac12R\cdot2\sqrt{ME\cdot EP}=R^2$

Dấu = xảy ra khi $EM=EP\to MA=PB$

$\to  ABPM$ là hình bình hành

$\to OE\perp AB$ vì $OE\perp MN$

$\to MAOE$ là hình vuông

$\to MA=OA=R$

d.Ta có $QK//AC\to \dfrac{DQ}{CM}=\dfrac{OD}{OM}=\dfrac{DK}{MA}$

$\to DQ=DK$

$\to D$ là trung điểm $KQ$

Goi $AE\cap BP=G$

Vì $PE, PB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OP\perp BE\to OP//AE\to PO//AG$

Vì $O$ là trung điểm $AB\to P$ là trung điểm $PG$

Xét $\Delta ABG, Q\in AG, K\in AB, QK//BG$ vì $BP//AM//QD$

Vì $D, P$ là trung điểm $QK, GB$

$\to A,D,P$  thẳng hàng