Đáp án + giải thích các bước giải : 

$\\$` a)` $\bullet$ Khi `R = R_1 = 5(Omega)`

$\\$ `=>` Điện trở tương đương của mạch là :

$\\$ `R = R_1 + R_0 = R_0 + 5 (Omega)`

$\\$ `=>` Cường độ dòng điện qua mạch là :
$\\$` I = U/(R_0 + 5)`

$\\$ `=>` Công suất tiêu thụ trên `R_1` là : 

$\\$` mathcalP_1 = I^2. R_1 = (5U^2)/(R_0 + 5)^2 `

$\\$` => U^2 = 3/5 . (R_0 + 5)`

$\\$ $\bullet$ Khi `R = R_2 = 45(Omega)`

$\\$ `=>` Điện trở tương đương của mạch là :

$\\$ `R' = R_2 + R_0 = R_0 + 45 (Omega)`

$\\$ `=>` Cường độ dòng điện qua mạch là :
$\\$` I' = U/(R_0 + 45)`

$\\$ `=>` Công suất tiêu thụ trên `R_2` là : 

$\\$` mathcalP_2 = I'^2. R_2 = (45U^2)/(R_0 + 45)^2`

$\\$ `Vì : mathcalP_1 = mathcalP_2`

$\\$ ` \Leftrightarrow (5U^2)/(R_0 + 5)^2 = (45U^2)/(R_0 + 45)^2`

$\\$`  \Leftrightarrow 1/(R_0+5)^2 = 9/(R_0 + 45)^2`

$\\$ ` \Leftrightarrow R_0^2 + 10R_0 + 25 = (R_0^2 + 90R_0 + 45^2)/9`

$\\$ ` \Leftrightarrow 9R_0^2 + 90R_0 + 225 = R_0^2 + 90R_0 + 45^2`

$\\$`  \Leftrightarrow 8R_0^2 - 1800 = 0`

$\\$`  \Leftrightarrow 8R_0^2 = 1800`

$\\$`  \Leftrightarrow R_0^2 = 225`

$\\$ ` \Leftrightarrow R_0 = 15(Omega)`

$\\$ `Vậy : R_0 = 15(Omega)`

$\\$` => (5U^2)/(15 + 5)^2 = 3  `

$\\$` => 5U^2 = 1200`

$\\$` => U^2 = 240`

$\\$ `b) Vì : R nt R_0`

$\\$ `=>` Điện trở tương đương của mạch là :

$\\$ `R_(tđ) = R + R_0 = R +15(Omega)`

$\\$ `->` Cường độ dòng điện qua mạch là : 

$\\$ `I_(mc) = U/R_(tđ) = U/(R + 15)`

$\\$ `=>` Công suất tiêu thụ trên `R` là :

$\\$ `mathcalP_R = I_(mc)^2 . R = (240 . R)/(R + 15)^2`

$\\$` => mathcalP_R  = 240/(R + 15^2/R + 30)`

$\\$ Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương, ta có :
$\\$ `R + 15^2/R ge 2sqrt(R . 15^2/R) = 2. 15 = 30`

$\\$` => R + 15^2/R + 30 ge 60`

$\\$` => mathcalP_R < 4`

$\\$ Dấu `"="` xảy ra ` \Leftrightarrow R = 15(Omega)`

$\\$ Vậy : $\text{Max}$`mathcalP_R = 4(W)  \Leftrightarrow R =15(Omega)`