Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D,F$ là trung điểm $AC, CH $

$\to DF$ là đường trung bình $\Delta AHC$

$\to DF//AH, DF=\dfrac12AH$

Vì $E$ là trung điểm $AH\to AE//DF, DF=AE$

$\to AEFD$ là hình bình hành

b.Ta có $HM//AB, BM//AC\to ABMD$ là hình bình hành

Mà $\widehat{BAD}=90^o, AC=2AB, D$ là trung điểm $AC\to AB=\dfrac12AC=AD$

$\to ABMD$ là hình vuông

c.Từ câu b$\to \Delta ABD$ vuông cân tại $A$

$\to \widehat{ADB}=45^o$

Ta có $\widehat{CFD}=\widehat{CAB}=90^o,\widehat{DCF}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta CFD\sim\Delta CAB(g.g)$

$\to\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CD}{CB}$

$\to\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CA}{CB}$

Lại có $\widehat{BCD}=\widehat{ACF}$

$\to \Delta CFA\sim\Delta CDB(c.g.c)$

$\to \widehat{AFC}=\widehat{BDC}$

$\to 180^o-\widehat{AFC}=180^o-\widehat{BDC}$

$\to\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=45^o$

Ta có $EF//AC, AC\perp AB\to EF\perp AB$

Mà $AH\perp BC\to AH\perp BF\to E$ là trực tâm $\Delta ABF\to BE\perp AF$

Gọi $BE\cap AF=G$

$\to \widehat{EBH}=90^o-\widehat{GFB}=90^o-\widehat{AFH}=45^o$

$\to\Delta BHE$ vuông cân tại $H$

d.Gọi $AM\cap DB=I\to I$ là trung điểm $AM, BD$ và $IA=IM=IB=ID=\dfrac12AM=\dfrac12BD$

Do $ABMD$ là hình vuông

Lại có $DF\perp BC\to \Delta BDF$ vuông tại $F, I$ là trung điểm $BD$

$\to IF=IB=ID=\dfrac12BD$

$\to IF=IA=IM=\dfrac12AM$

$\to\Delta AFM$ vuông tại $F$

$\to AF\perp MF$