`1/{n+1}+1/{n+2}+...+1/{n+n}>{13}/{24}` $(n\ge 2)$ $(1)$

+) Với $n=2$ ta có:

`1/{2+1}+1/{2+2}=7/{12}={14}/{24}>{13}/{24}`

`=>(1)` đúng với $n=2$

+) Giả sử $(1)$ đúng với $n=k>2$, tức là:

`1/{k+1}+1/{k+2}+...+1/{k+k}>{13}/{24}`

+) Ta cần chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$, tức là cần c/m:

`1/{k+2}+1/{k+3}+...+1/{k+1+k+1}>{13}/{24}`

Thật vậy ta có:

`1/{k+2}+1/{k+3}+...+1/{k+1+k+1}`

`=1/{k+1}+1/{k+2}+...+1/{2k}+1/{2k+1}+1/{2k+2}-1/{k+1}`

`=1/{k+1}+1/{k+2}+...+1/{2k}+{2k+2+2k+1-2(2k+1)}/{2(2k+1)(k+1)}`

`=1/{k+1}+1/{k+2}+...+1/{2k}+1/{2(2k+1)(k+1)}`

`>1/{k+1}+1/{k+2}+...+1/{2k}>{13}/{24}`

`=>(1)` đúng với $n=k+1$

Vậy `(1)` đúng $\forall n\in Z;n\ge 2$

Xét $n=2$:

$\dfrac{1}{2+1}+\dfrac{1}{2+2}>\dfrac{13}{24}$ (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k$ ($k\ge 2$):

$\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+...+\dfrac{1}{k+k}>\dfrac{13}{24}$

CMR bất đẳng thức đúng với $n=k+1$:

$\dfrac{1}{k+1+1}+\dfrac{1}{k+1+2}+...+\dfrac{1}{k+1+k+1}>\dfrac{13}{24}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+...+\dfrac{1}{k+k+2}>\dfrac{13}{24}$

Thật vậy:

$VT=\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+...+\dfrac{1}{k+k}+\dfrac{1}{k+k+1}+\dfrac{1}{k+k+2}$

$>\dfrac{13}{24}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+k+1}+\dfrac{1}{k+k+2}$

$=\dfrac{13}{24}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2k+1}+\dfrac{0,5}{k+1}$

$=\dfrac{13}{24}-\dfrac{1}{2k+2}+\dfrac{1}{2k+1}$

$=\dfrac{13}{24}+\dfrac{-2k-1+2k+2}{(2k+2)(2k+1)}$

$=\dfrac{13}{24}+\dfrac{1}{(2k+2)(2k+1)}>\dfrac{13}{24}$

$>VP$

$\to$ đpcm