Xét $\Delta MEO$ và $\Delta NEO $

$EO:$ chung

$\widehat{MEO}=\widehat{NEO}=90^o\\MO=NO=R\\=>\Delta MEO = \Delta NEO \\=>ME=NE$

Mà $AC \perp MN$

$=>AC$ là trung trực $MN$

$=>AM=AN(1)$

$MN$ là trung trực $AB$

$=>AM=BM;AN=BN(2)\\(1)(2)=>AM=BM=AN=BN$

$=>AMBN$ là hình thoi

$b)\Delta AMC$ nội tiếp đường tròn $O, AC$ là đường kính

$=>\widehat{AMC}=90^o$ hay $AM \perp MC(3)$

$\Delta BPC$ nội tiếp đường tròn $O', BC$ là đường kính

$=>\widehat{BPC}=90^o hay BP \perp MC(4)\\(3)(4)=>BP //AM$

$c)AMBN$ là hình thoi

$=>NB//AM$

Mà $BP //AM=>P,B,N$ thẳng hàng(Do 2 đoạn thẳng có chung điểm $B$ và cùng song song $AM)$

$d)\Delta MPN$ vuông có trung tuyến $EP$ ứng với cạnh huyền $MN$

$=>EP=ME=MN$

$=>\Delta EPN$ cân

$=>\widehat{EPN}=\widehat{N_1}(*)\\NA=NB$

$=>\Delta NAB$ cân tại $N$

Có $NE$ vừa là trung trực vừa là phân giác

$=>\widehat{N_1}=\widehat{N_2}(*')$

$\widehat{N_2}=\widehat{C}($cùng chắn cung $AM)(*")$

$\Delta BPC$ vuông có trung tuyến $PO'$ ứng với cạnh huyền $BC$

$=>PO'=BO'=CO'$

$=>\Delta PO'C$ cân

$=>\widehat{P_1}=\widehat{C}(*"')\\ (*)(*')(*")(*"')=>\widehat{EPN}=\widehat{P_1}\\ \widehat{P_1}+\widehat{P_2}=90^o\\ <=>\widehat{P_2}+\widehat{EPN}=90^o\\ <=>\widehat{EPO'}=90^o\\ =>Đpcm$