Đáp án:

33) $A.\,\left[\begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac23\end{array}\right.$

34) $A.\, 3$

35) $B.\, V = \dfrac{\pi\sqrt6a^3}{27}$

Giải thích các bước giải:

33) $y = \dfrac{1}{3}mx^3 - (m-1)x^2 + 3(m-2)x +\dfrac16$

$\to y' = mx^2 -2(m-1)x +3(m-2)$

Hàm số có hai cực trị $\to \begin{cases}m \ne0\\\Delta_{y'}' >0\end{cases}$

$\to \begin{cases}m \ne 0\\(m-1)^2 - 3m(m-2) >0\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 0\\2m^2 - 4m - 1 <0\end{cases}$

$\to m \in \left(1 - \dfrac{\sqrt6}{2}; 1 + \dfrac{\sqrt6}{2}\right)\backslash\{0\}$

Với $x_1;\,x_2$ là hai cực trị của hàm số

$\to x_1;\, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y' =0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2(m-1)}{m}\\x_1x_2  =\dfrac{3(m-2)}{m}\end{cases}$

Ta lại có:

$x_1 +2x_2 = 1$

$\to \begin{cases}x_1 = 1 - 2x_2\\x_1 + x_2 = \dfrac{2(m-1)}{m}\\x_1x_2  =\dfrac{3(m-2)}{m}\end{cases}$

$\to \begin{cases}x_2 = \dfrac{2-m}{m}\\x_1 = \dfrac{3m-4}{m}\\x_1x_2  =\dfrac{3(m-2)}{m}\end{cases}$

$\to \dfrac{(2-m)(3m-4)}{m^2} =\dfrac{3(m-2)}{m}$

$\to 3m(m-2) + (m-2)(3m-4) =0$

$\to (m-2)(6m -4)=0$

$\to \left[\begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac23\end{array}\right.\quad (nhận)$

Vậy $\left[\begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac23\end{array}\right.$

34) $x^3 - 3x + m - 2 =0\quad (*)$

Xét $f(x) = x^3 - 3x + m - 2$

$\to f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$(*)$ có 3 nghiệm phân biệt

$\to f(x)$ có `2` cực trị nằm về hai phía so với trục hoành

$\to y_{CĐ}.y_{CT} <0$

$\to f(-1).f(1) <0$

$\to m(m-4) <0$

$\to 0 < m <4$

mà $m\in\Bbb Z$

nên $m\in\{1;2;3\}$

Vậy có `3` giá trị $m$ nguyên thỏa mãn đề bài

35) Gọi $O$ là tâm của $ΔBCD$

$\to R = OB = OC = OD = \dfrac{AB\sqrt3}{3} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

$\to AO\perp (BCD)$ (hình chóp đều)

$\to AO\perp OB$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$AB^2 = OB^2 + AO^2$

$\to AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Thể tích hình nón ngoại tiếp tứ diện đều:

$V = \dfrac13\pi R^2.AO = \dfrac13\cdot\pi\cdot\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2\cdot \dfrac{a\sqrt6}{3}$

$\to V = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$

.