Lời giải:

`\text{a)Xét ΔAMN và ΔCMB ta có:}`

 `\text{    MB = MN (N đối xứng với M qua B)}`

   $\widehat{M1}$ `=` $\widehat{M2}$ `\text{(đối đỉnh)}`

`\text{    MA = MC (gt)}`

`\text{Suy ra ΔAMN và ΔCMB trường hợp (c.g.c)}`

`\text{⇒ AN = BC (2 cạnh tương ứng) (2)}`

`⇒` $\widehat{B1}$ `=` $\widehat{N1}$ `\text{(2 góc tương ứng)}`

`\text{Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AN // BC (1)}`

`\text{Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCN là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối}`

`\text{song và bằng nhau)}`

`\text{b) Do ABCN là hình bình hành ⇒ AB = CN}`

`\text{Do AN//BC ⇔ AN//BD}`

`\text{Suy ra tứ giác ABDN là hình thang (3) }`

`\text{Xét ΔABC và ΔNCD ta có:}`

 `\text{    AB = CN (chứng minh trên)}`

   $\widehat{ABC}$ `=` $\widehat{C1}$ `\text{(đồng vị)}`

`\text{    CB = CD (do D đối xứng với B qua C)}`

`\text{Suy ra ΔABC và ΔNCD trường hợp (c.g.c)}`

`\text{⇒ AB = ND (2 cạnh tương ứng) (4)}`

`\text{Từ (3) và (4) suy ra ABDN là hình thang cân}`

`\text{c) Gọi K là giao điểm của NC và DI}`

`\text{Do ABCN là hình bình hành ⇒ AB//CN ⇔ BI// KC}`

`\text{Lại có : CB = CD ⇒ KC // BI và KC =}` `1/2` `BI` `(5)`

`\text{Chứng minh tương tự ta có ΔAMI = ΔCMK (g.c.g)}`

`\text{⇒ AI = KC (2 cạnh tương ứng) (6)}`

`\text{Từ (5) và (6) ⇒ AI =}` `1/2` `BI`

`\text{⇒ 2AI = BI (đpcm)}`

`\text{d) Kẻ AM ⊥ BC tại M}`

`\text{Do ΔABC cân mà}` $\widehat{M1}$ `=` 60°

`\text{⇒ ΔABC đều}`

`\text{Ta có : 2AI = IB }`

`\text{     IB + IA = AB}`

`\text{     4 + 2 = AB}`

`\text{⇒ AB  = 6cm}`

`\text{⇔ AB = BC = CD = AN = 6cm}`

`\text{Do trong tam giác cân,đường cao đồng thời là đường trung bình suy ra :}`

`\text{MB = MC =}``(BC)/2``=``6/2``=``3cm`

`\text{Áp dụng định lý Pi ta go vào ΔABM vuông tại M ta có:}`

            $AM^{2}$ `+` $MB^{2}$ `=` $AB^{2}$ 

             $AM^{2}$ `+` $9$ `=` $36$ 

         `\text{⇒ AM =}`$\sqrt{27}$ 

`\text{Diện tích hình thang ABDN là:}`

      `1/2``\text{.(AN + BD).}`$\sqrt{27}$ 

`=`  `1/2``\text{.(6 + 2BC).}`$\sqrt{27}$

`=`  `1/2``\text{.(6 + 2.6).}`$\sqrt{27}$

`=`  `1/2``\text{.(6 + 12).}`$\sqrt{27}$

`=` $27\sqrt{3}$$(cm)^{2}$