Giải thích các bước giải:

a.Ta có $HE\perp AB, HF\perp AC, AB\perp AC$

$\to AEHF$ là hình chữ nhật

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$

Mà $AH\perp BC$

$\to AH\cdot BC=AB\cdot AC(=2S_{ABC})$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12}{5}$

c.Ta có $HE\perp AB\to HM\perp AB=E$

Mà $EM=EH\to AB\perp MN=E$ là trung trực $MH$

$\to AB$ là trung trực của $MH$

$\to AM=AH,\widehat{MAB}=\widehat{BAH}\to\widehat{MAH}=2\widehat{BAH}$

Tương tự $AN=AH,\widehat{HAN}=2\widehat{HAC}$

$\to AM=AN,\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{HAN}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=2\widehat{BAC}=180^o$

$\to M,A,N$ thẳng hàng

$\to A$ là trung điểm $MN$

d.Ta có $E,F$ là trung điểm $HM,HN\to EF$ là đường trung bình $\Delta HMN\to EF//MN$

Gọi $AD\perp EF,D\in CB\to AD\perp MN$

Ta có $AB$ là trung trực của $MH\to\widehat{BMA}=\widehat{BHA}=90^o$

$\to BM\perp MN$

Tương tự $CN\perp MN$

$\to BM//CN$

$\to AD//BM//CN$ vì $AD\perp MN$

Vì $A$ là trung điểm $MN\to AD$ là đường trung bình hình thang $BCNM$

$\to D$ là trung điểm $BC$

$\to $Đường thẳng qua $A$ vuông góc $EF$ đi qua trung điểm $BC$