Giải thích các bước giải:

a.Ta có:
$S_{ABC}=\dfrac12AK\cdot BC$

$\to 20=\dfrac12\cdot 4\cdot BC$

$\to BC=10$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, F$ là trung điểm $BC$

$\to AF=FB=FC=\dfrac12BC=5$

b.Ta có $D,E$ là trung điểm $AB,AC$ 

$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to DE//BC,DE=\dfrac12BC$

Mà $F$ là trung điểm $BC$

$\to DE//BF, DE=BF$

$\to DEFB$ là hình bình hành

c.Ta có $E,F$ là trung điểm $AC,BC\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABC\to EF//AB$

Mà $DE//BC\to DE//KF$

Lại có $\Delta AKB$ vuông tại $K, D$ là trung điểm $AB$

$\to DK=DA=DB=\dfrac12AB$

$\to\Delta DBK$ cân tại $D$

$\to\widehat{EDK}=\widehat{DKB}=\widehat{DBK}=\widehat{EFC}=\widehat{DEF}$

$\to DEFK$ là hình thang cân

d.Ta có $AKMN$ là hình vuông

$\to \widehat{AMK}=45^o\to\widehat{AMC}=180^o-45^o=135^o$

Ta có: $\widehat{CMI}=\widehat{CAB}=90^o,\widehat{ICM}=\widehat{ACB}$

$\to\Delta CMI\sim\Delta CAB(g.g)$

$\to\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CI}{CB}$

$\to\dfrac{CM}{CI}=\dfrac{CA}{CB}$

Mà $\widehat{BCI}=\widehat{ACM}$

$\to\Delta CIB\sim\Delta CMA(c.g.c)$

$\to\widehat{BIC}=\widehat{AMC}=135^o$

$\to\widehat{AIB}=180^o-\widehat{BIC}=45^o$

$\to\Delta ABI$ vuông cân tại $A$

Vì $BQ//AC, IQ//AB\to ABQI$ là hình bình hành

$\to ABQI$ là hình vuông

$\to AQ\cap BI$ tại trung điểm mỗi đường

Gọi $AQ\cap BI=G$

$\to G$ là trung điểm $QA, BI$ và $GA=GQ=GI=GB$

Lại có $\Delta BIM$ vuông tại $M, G$ là trung điểm $BI$

$\to GM=GI=GB=GA$

$\to GM=GA\to G\in$ trung trực của $AM$

Ta có $AKMN$ là hình vuông

$\to KN$ là trung trực của $AM$

$\to G\in KN$

$\to QA, BI, KN$ đồng quy tại $G$