a) Ta có:

$MA;\, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, B\quad (gt)$

$\to OA\perp MA;\, OB\perp MB$

$\to \widehat{OAM} = \widehat{OBM} =90^\circ$

Xét tứ giác $MAOB$ có:

$\widehat{OAM} + \widehat{OBM} =180^\circ$

Do đó $MAOB$ là tứ giác nôi tiếp

$\to M,\, A,\, O,\, B$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$MA;\, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, B\quad (gt)$

$\to MA= MB$

Lại có: $OA = OB = R$

$\to OM$ là đường trung trực của $AB$

$\to OM\perp AB$ tại $I$

c) Sửa đề: $MC\cap (O) = \{D\}$

Ta có:

$\widehat{BDC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\to ΔBDC$ vuông tại $D$

d) Xét $ΔMAD$ và $ΔMCA$ có:

$\widehat{M}:$ góc chung

$\widehat{MAD} = \widehat{MCA}$ (cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Do đó $ΔMAD \sim ΔMCA\, (g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MA}$

$\to MD.MC = MA^2\qquad (1)$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOAM$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:

$MI.MO = MA^2\qquad (2)$

$(1)(2)\to MD.MC = MI.MO$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:Gọi E là trung điểm của OM 

Xét ∆OAM vuông tại A ( AM là tiếp tuyến) có AE là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền OM

=>AE=EM=EO(1)

Xét ∆BOM vuông tại B( BM là tiếp tuyến) có BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền OM

=>BE =OE=ME(2)

Từ 1 và 2 suy ra AE =EM =EO=BE hay A,M,O,B thuộc 1 đg tròn tâm E

 b)Xét (o) có AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra :góc AOM = góc MOB 

Mặt khác có OB = OA (=R) 

=> OI là đg trung trực của AB hay OM vg góc vs AB tại I ( đpcm)