Đáp án:

 e) \(H\left( { - 2; - 5} \right)\)

Giải thích các bước giải:

 a) Có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)\\
Do: - 2:4 \ne 1:\left( { - 2} \right)
\end{array}\)

⇒ A , B , C không thẳng hàng

Hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

\(\begin{array}{l}
b)\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1} \right) \to \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \\
\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right) \to \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 \\
\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1} \right) = \sqrt {10} \\
\cos BAC = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{ - 1.4 - 1.2}}{{\sqrt 2 .\sqrt {10} }} =  - \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}\\
c)Gs:D\left( {a;b} \right)\\
\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1} \right)\\
\overrightarrow {DC}  = \left( {5 - a;2 - b} \right)
\end{array}\)

Do ABCD là hình bình hành

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 = 5 - a\\
1 = 2 - b
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 6\\
b = 1
\end{array} \right.\\
 \to D\left( {6;1} \right)\\
d)Do:E \in Ox\\
 \to E\left( {x;0} \right)\\
\overrightarrow {AE}  = \left( {x - 2; - 3} \right)\\
\overrightarrow {BE}  = \left( {x - 1; - 4} \right)
\end{array}\)

Do ΔABE vuông E

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BE}  = 0\\
 \to \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 12 = 0\\
 \to {x^2} - 3x + 2 + 12 = 0\\
 \to {x^2} - 3x + 14 = 0\left( {vô nghiệm} \right)
\end{array}\)

⇒ Không tồn tại điểm E thỏa mãn điều kiện

e) Giả sử H(x;y)

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AH}  = \left( {x - 2;y - 3} \right)\\
\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 1;y - 4} \right)
\end{array}\)

Do H là trực tâm ΔABC

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
4\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 3} \right) = 0\\
3\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 4} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
4x - 2y = 2\\
3x - y =  - 1
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 5
\end{array} \right. \to H\left( { - 2; - 5} \right)
\end{array}\)

f) Gọi I là tọa độ hình chiếu của A lên BC

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)\\
 \to vtpt:{\overrightarrow n _{BC}} = \left( {1;2} \right)
\end{array}\)

Phương trình đường thẳng BC qua B(1;4) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _{BC}} = \left( {1;2} \right)\)

\(vtpt:{\overrightarrow n _{BC}} = \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
Do:I \in BC\\
 \to I\left( {9 - 2t;t} \right)\\
 \to \overrightarrow {AI}  = \left( {7 - 2t;t - 3} \right)\\
Do:AI \bot BC\\
 \to \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
 \to 4\left( {7 - 2t} \right) - 2\left( {t - 2} \right) = 0\\
 \to t = \dfrac{{16}}{5}\\
 \to I\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{{16}}{5}} \right)
\end{array}\)

g) Gọi K(x;y) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
M\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\\
N\left( {3;3} \right)
\end{array} \right.\\
 \to \overrightarrow {KM}  = \left( {\dfrac{3}{2} - x;\dfrac{7}{2} - y} \right)\\
\overrightarrow {KN}  = \left( {3 - x;3 - y} \right)\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {KM} .\overrightarrow {AB}  = 0\\
\overrightarrow {KN} .\overrightarrow {BC}  = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
 - \left( {\dfrac{3}{2} - x} \right) + \dfrac{7}{2} - y = 0\\
4\left( {3 - x} \right) - 2\left( {3 - y} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 7
\end{array} \right.\\
 \to K\left( {5;7} \right)
\end{array}\)