Đáp án:

$GTNN = \dfrac{3\sqrt[]{3}}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$

Giải thích các bước giải:

$S=\dfrac{\sqrt[]{2x^2-xy+2y^2}}{(x+z)+(y+z)} +\dfrac{\sqrt[]{2y^2-yz+2z^2}}{(x+y)+(x+z)} +\dfrac{\sqrt[]{2x^2-xz+2z^2}}{(x+y)+(y+z)} $

Ta sẽ đi đánh giá biểu thức sau: $\sqrt[]{2x^2-xy+2y^2} \ge mx+ny$ (m,n là tham số)

... 

Tìm được $m=n= \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$

Đánh giá được: $\sqrt[]{2x^2-xy+2y^2} \ge \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}(x+y)$

$<=> 2x^2-xy+2y^2 \ge \dfrac{3}{4}(x+y)^2$

$<=> \dfrac{5}{4}.x^2-\dfrac{5}{2}.xy+\dfrac{5}{4}.y^2 \ge 0$

$<=> (x-y)^2 \ge 0$ (Luôn đúng, $\forall x,y \in R$)

Tương tự:

$+) \sqrt[]{2y^2-yz+2z^2} \ge \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}(y+z)$

$+) \sqrt[]{2x^2-xz+2z^2} \ge \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}(x+z)$

$=>S \ge \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.\dfrac{x+y}{(x+z)+(y+z)}+\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.\dfrac{y+z}{(x+y)+(x+z)}+\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.\dfrac{x+z}{(x+y)+(y+z)}$

$=\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.[\dfrac{x+y}{(x+z)+(y+z)}+\dfrac{y+z}{(x+y)+(x+z)}+\dfrac{x+z}{(x+y)+(y+z)}]$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (Nesbitt) 

$=>\dfrac{x+y}{(x+z)+(y+z)}+\dfrac{y+z}{(x+y)+(x+z)}+\dfrac{x+z}{(x+y)+(y+z)} \ge \dfrac{3}{2}$

$=>S \ge \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.\dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt[]{3}}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\dfrac{3\sqrt[]{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$

Dự đoán:

$2x^2-xy+2y^2=m(x+y)^2+n(x-y)^2=mx^2+2mxy +my^2 + nx^2-2nxy + ny^2=x^2(m+n)+xy(2m-2n) + y^2(m+n)\\\to \begin{cases} m+n=2\\2m-2n=-1 \end{cases}\to \begin{cases} m=\dfrac{3}{4}\\n=\dfrac{5}{4} \end{cases}\\\to 2x^2-xy+2y^2=\dfrac{3}{4}(x+y)^2+\dfrac{5}{4}(x-y)^2\\\to \sqrt{2x^2-xy+2y^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}(x+y)^2+\dfrac{5}{4}(x-y)^2}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\\\to \dfrac{\sqrt{2x^2-xy+2y^2}}{x+y+2z}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x+y}{x+z+y+z}\\\to \sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{\sqrt{2x^2-xy+2y^2}}{x+y+2z}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\limits_{\text{cyc}}\dfrac{x+y}{x+z+y+z}$

Đặt: $P=\dfrac{x+y}{x+z+y+z}+\dfrac{y+z}{x+y+x+z}+\dfrac{x+z}{x+y+y+z}$

Đổi biến $(x+y;y+z;x+z)=(a;b;c)(a,b,c>0)$

$\to P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c>0$

$\to b+c\le a+c\le a+b\to \dfrac{1}{b+c}\ge \dfrac{1}{a+c}\ge \dfrac{1}{a+b}$

Áp dụng BĐT Chev ta được:

$P\ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được:

$P\ge \dfrac{1}{3}(a+b+c).\dfrac{9}{2(a+b+c)}=\dfrac{3}{2}\\\to S\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z>0$