`a)` 

+) Vì $CA$ và $CM$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ của $(O)$

`=>OC` là phân giác của `\hat{AOM}`

`=>\hat{COM}=1/ 2 \hat{AOM}`

+) Vì $DM$ và $DB$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau tại $D$ của $(O)$

`=>OD` là phân giác của `\hat{BOM}`

`=>\hat{DOM}=1/ 2 \hat{BOM}`

Ta có:

`\hat{COD}=\hat{COM}+\hat{DOM}`

`=1/ 2 (\hat{AOM}+\hat{BOM})`

`=1/ 2 .180° =90°`

`=>∆COD` vuông tại $O$ (đpcm)

`b)`

+) Vì $CA$ và $CM$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau tại $C$; $DB$;$DM$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau tại $D$ của $(O)$

`=>CM=CA;DM=DB`

`\qquad OM` $\perp CM$ `=>OM` $\perp BC$

+) Xét $∆COD$ vuông tại $O$ (câu a) có đường cao $OM=R$

`=>OM^2=CM.DM` (hệ thức lượng trong ∆ vuông)

`<=>R^2=AC.BD`

Vậy `AC.BD=R^2`

`c)`

+) Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $MH$

`MH`$\perp AB$ (gt) `=>IH`$\perp AB$

Mà `CA`$\perp AB$ (vì $CA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$)

`=>IH` // $CA$

Áp dụng hệ quả định lý Talet vào $∆ABC$ 

`=>{IH}/{CA}={BH}/{AB}` 

`=>{IH}/{CA}={BH}/{2OA}` 

`=>BH.CA=2OA.IH` `(1)`

+) Ta có: $CA=CM$ (câu a)

Mà $OA=OM=R$

`=>OC` là đường trung trực của $AM$

`=>OC`$\perp AM$ 

* $M\in (O)$ đường kính $AB$

`=>BM`$\perp AM$

`=>BM` // $OC$

`=>\hat{HBM}=\hat{AOC}` (đồng vị)

+) Xét $∆HBM$ và $∆AOC$ có:

*`\hat{HBM}=\hat{AOC}`

*`\hat{MHB}=\hat{CAO}=90°`

`=>∆HBM∽∆AOC(g-g)`

`=>{MH}/{CA}={BH}/{OA}` 

`=>BH.CA=OA.MH` `(2)`

Từ `(1);(2)=>2OA.IH=OA.MH`

`=>MH=2IH`

`=>I` là trung điểm của $MH$

Vậy $BC$ đi qua trung điểm $I$ của $MH$ (đpcm)