Đáp án:

Vậy M chia 13 dư 4 và Vậy M chia 40 dư 1

Giải thích các bước giải:

Ta có: M = 1 + 3 + 3² + 3³ +...+ $3^{100}$ 

=> M = 1 + 3 + (3² + 3³ + $3^{4}$ +...+ ($3^{98}$ + $3^{99}$ + $3^{100}$)

=> M = 1 + 3 + (3².1 + 3² + $3^{2}).3² +...+ ($3^{98}$.1 + $3^{98}$.3 + $3^{98}$.3²)

=> M = 1 + 3 + (1 + 3 + 3²).(3² +...+ $3^{98}$)

=> M = 1 + 3 + 13.(3² +...+ $3^{98}$)

=> M = 4 + 13.(3² +...+ $3^{98}$)

Vì 13.(3² +...+ $3^{98}$) chia hết cho 13  (vì 13 chia hết cho 13)

Mà 4 chia 13 dư 4

Nên M chia 13 dư 4

Vậy M chia 13 dư 4

Kiểu khác: M = 1 + 3 + 3² + 3³ +...+ $3^{100}$ 

=> M = 1 + (3 + 3² + 3³ + $3^{4}$) +...+ ($3^{97}$ + $3^{98}$ + $3^{99}$ + $3^{100}$)

=> M = 1 + (3.1 + 3.3 + 3.3² + 3.3³) +...+ ($3^{97}$.1 + $3^{97}$.3 + $3^{97}$.3² + $3^{97}$.3³)

=> M = 1 + (1 + 3 + 3² + 3³).(3 +...+ $3^{97}$)

=> M = 1 + 40.(3 +...+ $3^{97}$)

Vì 40.(3 +...+ $3^{97}$) chia hết cho 40   (vì 40 chia hết cho 40)

Mà 1 chia 40 dư 1

Nên M chia 40 dư 1

Vậy M chia 40 dư 1

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$M=1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{100}}$

$\bullet \,\,$Số dư khi chia $M$ cho $13$

$M=1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{100}}$

$M=1+3+\left( {{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}} \right)+\left( {{3}^{5}}+{{3}^{6}}+{{3}^{7}} \right)+...+\left( {{3}^{98}}+{{3}^{99}}+{{3}^{100}} \right)$

$M=4+{{3}^{2}}\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}} \right)+{{3}^{5}}\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}} \right)+...+{{3}^{98}}\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}} \right)$

$M=4+{{3}^{2}}.13+{{3}^{5}}.13+...+{{3}^{98}}.13$

$M=4+13\left( {{3}^{2}}+{{3}^{5}}+...+{{3}^{98}} \right)$

Vì:

$4:13$ dư $4$

$13\left( {{3}^{2}}+{{3}^{5}}+...+{{3}^{98}} \right)\,\,\,\vdots \,\,\,13$

Nên $4+13\left( {{3}^{2}}+{{3}^{5}}+{{3}^{98}} \right):13$ dư 4

Vậy $M$ chia $13$ dư $4$

$\bullet \,\,$Số dư khi chia $M$ cho $40$

$M=1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{100}}$

$M=1+\left( 3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}} \right)+\left( {{3}^{5}}+{{3}^{6}}+{{3}^{7}}+{{3}^{8}} \right)+...+\left( {{3}^{97}}+{{3}^{98}}+{{3}^{99}}+{{3}^{100}} \right)$

$M=1+3\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}}+{{3}^{3}} \right)+{{3}^{5}}\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}}+{{3}^{3}} \right)+{{3}^{97}}\left( 1+{{3}^{1}}+{{3}^{2}}+{{3}^{3}} \right)$

$M=1+3.40+{{3}^{5}}.40+...+{{3}^{97}}.40$

$M=1+40\left( 3+{{3}^{5}}+...+{{3}^{97}} \right)$

Vì:

$1:40$ dư $1$

$40\left( 3+{{3}^{5}}+...+{{3}^{97}} \right)\,\,\,\vdots \,\,\,40$

Nên $1+40\left( 3+{{3}^{5}}+...+{{3}^{97}} \right):40$ dư $1$

Vậy $M$ chia $40$ dư $1$