Câu 12.

`a)` 

+) Vì $DB$ và $DE$ là $2$ tiếp tuyến cắt nhau tại $D$ của $(O)$

`=>DB=DE`

Mà $OB=OE$ (=bán kính của $(O)$)

`=>OD` là đường trung trực của $BE$

(Các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó)

`=>OD`$\perp BE$ tại trung điểm của $BE$ (đpcm)

Mà $I$ là giao điểm của $OD$ và $BE$

`=>I` là trung điểm của $BE\ (1)$

+) $DB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>∆OBD` vuông tại $B$

`=>DB^2=DI.DO` `(2)`

(hệ thức lượng trong ∆ vuông)

+) $A\in (O)$ đường kính $BC$

`=>BA`$\perp CD$

`∆BCD` vuông tại $B$ có đường cao $BA$

`=>DB^2=DA.DC` `(3)`

(hệ thức lượng trong ∆ vuông)

Từ `(2);(3)=>DI.DO=DA.DC` (đpcm)

`b)`

+) Xét $∆BCD$ có: 

$GH$ // $BD$ (cùng $\perp BC)$

`=>{GH}/{BD}={CH}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{GH}/{BD}={CH}/{2OB}` 

`=>CH.BD=2OB.GH` `(4)`

+) $E\in (O)$ đường kính $BC$

`=>BE`$\perp EC$

Mà $OD\perp BE$ (câu a)

`=>EC` // $OD$

`=>\hat{HCE}=\hat{BOD}` (đồng vị)

+) Xét $∆HCE$ và $∆BOD$ có:

*`\hat{HCE}=\hat{BOD}`

*`\hat{CHE}=\hat{OBD}=90°`

`=>∆HCE∽∆BOD(g-g)`

`=>{EH}/{BD}={CH}/{OB}` 

`=>CH.BD=OB.EH` `(5)`

Từ `(4);(5)=>2OB.GH=OB.EH`

`=>EH=2GH`

`=>G` là trung điểm của $EH$

Ta lại có $I$ là trung điểm của $BE$ (từ $(1)$ câu a)

`=>IG` là đường trung bình $∆BEH$

`=>IG` // $BH$

`=>IG` // $BC$ (vì $H\in BC)$

Vậy `IG` // $BC$ (đpcm)

Câu 13.

Ta có:

`\quad x^2-3x+2=x^2-2x-x+2`

`=x(x-2)-(x-2)=(x-1)(x-2)`

`\sqrt{x^2-3x+2}+3=3\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}``(1)`

$ĐK: \begin{cases}x-1\ge 0\\x-2\ge 0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x\ge 1\\ x\ge 2 \end{cases}$ `=>x\ge 2`

`(1)<=>\sqrt{(x-1)(x-2)}+3-3\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}=0`

`<=>\sqrt{x-1}.\sqrt{x-2}-3\sqrt{x-1}+3-\sqrt{x-2}=0`

`<=>\sqrt{x-1}(\sqrt{x-2}-3)-(\sqrt{x-2}-3)=0`

`<=>(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-2}-3)=0`

$⇒\left[\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-1=0\\ \sqrt{x-2}-3=0\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=1\\ \sqrt{x-2}=3\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}x-1=1\\x-2=9\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}x=2 (thỏa \ đk) \\x=11 (thỏa \ đk)\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 `S={2;11}`

Bạn tham khảo:

Học tốt