Đáp án:

a) $BC=10cm$

b) $DE\bot BC, AD<DC$

c) M, D, N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(cm)$

b)

Xét $\triangle BAD$ và $\triangle BED$:

$BA=BE$ (gt)

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (gt)

$BD$: chung

$\to\triangle BAD=\triangle BED$ (c.g.c)

$\to AD=ED$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{BAD}=\widehat{BED}$ (2 góc tương ứng)

$\to\widehat{BED}=90^o\\\to DE\bot BC$

$\triangle EDC$ vuông tại E (cmt)

$\to ED<DC$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

$\to AD<DC$

c)

Xét $\triangle EBF$ và $\triangle ABC$:

$\widehat{BEF}=\widehat{BAC}\,\,\,(=90^o)$

$BE=BA$ (gt)

$\widehat{ABE}$: chung

$\to\triangle EBF=\triangle ABC$ (g.c.g)

$\to BF=BC$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle BFC$ cân tại B

Mà BN là đường trung tuyến (gt)

$\to$ BN đồng thời là phân giác của $\widehat{FBC}$ (1)

$\triangle BAE$ cân tại B $(BA=BE)$ có đường trung tuyến BM (gt)

$\to$ BM đồng thời là phân giác của $\widehat{ABE}$

Hay BM là phân giác của $\widehat{FBC}$ (2)

Ta có: BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ (gt)

Hay BD là phân giác của $\widehat{FBC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\to$ M, D, N thẳng hàng