Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MAB,\Delta MDC$ có:

$MA=MD$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$

$MB=MC$ vì $M$ là trung điểm $BC$

$\to\Delta MAB=\Delta MDC(c.g.c)$

b.Từ câu a

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\to AB//CD$

c.Từ câu a$\to AB=CD$

   Ta có $AB//CD, AB\perp AC\to CD\perp AC\to\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=90^o$

Xét $\Delta ABC,\Delta CDA$ có:

Chung $AC$

$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^o$

$BA=CD$

$\to\Delta ABC=\Delta CDA(c.g.c)$

$\to BC=AD$

d.Tương tự câu b chứng minh được $BD//AC$

Vì $MF\perp BD\to MF\perp AC$

Ta có $AD=BC\to 2MA=2MC$ vì $M$ là trung điểm $BC, MA=MD$

$\to MA=MC\to\Delta MAC$ cân tại $M$

Mà $E$ là trung điểm $AC\to ME\perp AC$

Ta có $ME\perp AC, MF\perp AC$

$\to M,E,F$ thẳng hàngD

Đáp án:

a) $\Delta MAB=\Delta MDC$

b) $AB//CD$

c) $\Delta ABC=\Delta CDA$ và $BC=AD$

d) $F,M,E$ thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MDC$ có:
$BM=MC (gt)$
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)
$AM=MD (gt)$
$\Rightarrow \Delta MAB=\Delta MDC (c.g.c)$
b) Vì $\Delta MAB=\Delta MDC$ (cmt)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ (hai góc tương ứng)
mà hai góc này ở vị trí sso le trong
$\Rightarrow AB//CD$ (dấu hiệu nhận biết)
c) Ta có: $AB//CD$ (cmt)
mà $AB\perp AC$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại A)
$\Rightarrow CD\perp AC  $
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có: 
$AB=CD (cmt)$
$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}(=90^{0})$
AC chung
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta CDA(c.g.c)$
$\Rightarrow BC=AD$ (hai cạnh tương ứng)
d) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có: $BM=MC$ (gt)
$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$ (định lý)
$\Rightarrow AM=MC$
mà $AM=MD (gt); MC=MB(gt)$
$\Rightarrow MD=MB$
Xét $\Delta MBD$ có: $MD=MB (cmt)$
$\Rightarrow \Delta MBD$ cân tại M (định nghĩa)
mà MF là đường cao của $\Delta MBD (MF\perp BD)$
$\Rightarrow MF$ đồng thời là đường trung tuyến
$\Rightarrow BF=FD$
Xét $\Delta ABD$ có: 
$BF=FD (cmt)$
$AM=MD (gt)$
$\Rightarrow FM$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ (định nghĩa)
$\Rightarrow FM//AB$ (định lý) (1)
Xét $\Delta ABC$ có:
$AE=EC (gt)$
$BM=MC (gt)$
$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ (định nghĩa)
$\Rightarrow ME//AB$ (định lý) (2)
(1)(2)$\Rightarrow F,M,E$ thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit)