Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Mà $AH\perp BC$

$\to AB\cdot AC=AH\cdot BC(=2S_{ABC})$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{24}{5}$

Lại có $M$ là trung điểm $BC\to MA=MB=MC=\dfrac12BC=5$

b.Ta có $DE\perp IC$ tại $K$ là trung điểm $IC$

$\to DE$ là trung trực của $IC$

$\to DC=DI, EI=EC$

$\to DC=DI=EI=EC$

$\to DIEC$ là hình thoi

c.Ta có $GI=HC=2R$

            $CH$ là đường kính của $I\to IH=IC=\dfrac12HC=R$

Ta có $DC=DI=EI=EC=R=IC$

$\to\Delta DIC,\Delta EIC$ đều

$\to \widehat{HIG}=\widehat{DIC}=\widehat{CIE}=60^o$

$\to\widehat{GIE}=180^o-\widehat{HIG}-\widehat{EIC}=60^o$

$\to \widehat{HIG}=\widehat{EIG}$

Xét $\Delta IHG,\Delta IEG$ có:

Chung $IG$
$ \widehat{HIG}=\widehat{EIG}$

$IH=IE$

$\to \Delta IHG=\Delta IEG(c.g.c)$

$\to\widehat{GEI}=\widehat{GHI}=90^o$

$\to GE$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to E\equiv P$

Gọi $IG\cap HE=F$

Vì $GH,GE$ là tiếp tuyến của $(O)\to IG\perp HE=F$ là trung điểm $HE$

Mặt khác $GH=GE,\widehat{GHE}=\dfrac12\widehat{HIE}=60^o$

$\to \Delta HGE$ đều

$\to \Delta GHP$ đều

Ta có: $IF\perp HF, \widehat{HIF}=60^o\to \Delta IHF$ là nửa tam giác đều

$\to HF=\dfrac{IH\sqrt{3}}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

$\to HE=2HF=R\sqrt3$

$\to S_{HGE}=\dfrac{HE^2\sqrt3}{4}$

$\to S_{HGE}=\dfrac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}{4}$

$\to S_{HGE}=\dfrac{3\sqrt3R^2}{4}$

$\to S_{GHP}=\dfrac{3\sqrt3R^2}{4}$