Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CM,CA$ là tiếp tuyến của $(O)\to CA=CM, OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $\to DM=DB, OD$ là phân giác $\widehat{BOM}$

$\to CD=CM+MD=AC+BD$

Lại có $\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=\widehat{AOB}=180^o$

$\to OC\perp OD$

Do $OM\perp CD$

$\to MC.MD=OM^2=R^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AC.DB=R^2$

b.Ta có $OC\perp OD$

   Gọi $I$ là trung điểm $CD\to (I,IO)$ là đường tròn đường kính $CD$

Ta có $CA,DB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AC\perp AB, BD\perp AB$

$\to ABDC$ là hình thang vuông

Ta có $O,I$ là trung điểm $AB,CD$

$\to OI$ là đường trung bình hình thang $ABDC$

$\to OI//AC$ do $AC\perp AB\to IO\perp AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của $(I,IO)$

$\to AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$

c.Gọi $CO\cap AM=E$

Vì $CM,CA$ là tiếp tuyến của $(O)\to CO$ là trung trực của $AM$

$\to CO\perp AM=E, E$ là trung điểm $AM$

Ta có $\Delta COA$ vuông tại $A, AE\perp CO$

$\to\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AO^2}$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{(\dfrac{R}2)^2}+\dfrac1{R^2}$

$\to AE=\dfrac{R}{\sqrt{5}}$

$\to MA=2AE=\dfrac{2R}{\sqrt{5}}$

$\to MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{(2R)^2-(\dfrac{2R}{\sqrt{5}})^2}=\dfrac{4\sqrt{5}R}{5}$

Gọi $OD\cap MB=F$

Vì $DM,DB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OD\perp MB=F$ là trung điểm $BM$

$\to FB=FM=\dfrac12MB=\dfrac{2\sqrt{5}R}{5}$

$\to OF=\sqrt{OB^2-FB^2}=\sqrt{R^2-(\dfrac{2\sqrt{5}R}{5})^2}=\frac{R}{\sqrt{5}}$

Ta có $OB\perp BD, BF\perp OD$

$\to OF.OD=OB^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to OD=\dfrac{OB^2}{OF}=\dfrac{R^2}{\frac{R}{\sqrt{5}}}=R\sqrt{5}$

Ta có $DM\perp OM, OB\perp BD$

$\to D,M,O,B\in$ đường tròn đường kính $OD$

$\to $Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BDM$ là:

$\dfrac12OD=\dfrac{R\sqrt5}2$