Đáp án:

a) 

Ta có: $\widehat{MNP}=2\widehat{MPN}\Rightarrow\widehat{MPN}=\dfrac{1}{2}\widehat{MNP}$

Xét $\triangle MNP$ vuông tại $M$ có

$\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{MNP}+\dfrac{1}{2}\widehat{MNP}=90^0$

$\Rightarrow \dfrac{3}{2}\widehat{MNP}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{MNP}=60^0$

b) 

Xét $\triangle NAM$ và $\triangle PAQ$ có:

$NA=AP$ (do $A$ là trung điểm của $NP$-gt)

$\widehat{MAN}=\widehat{PAQ}$ (đối đỉnh)

$AM=AQ$  (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)

$\Rightarrow \triangle NAM=\triangle PAQ$ (c.g.c)

$\widehat{AMN}=\widehat{AQP}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{AQP}$ nằm ở vị trí so le trong

$\Rightarrow MN//PQ$

mà $MN\bot MP$ (do $\triangle MNP$ vuông tại $M$)

$\Rightarrow MP\bot PQ$ (mối quan hệ từ vuông góc đến song song)

c) 

Do $\triangle NAM=\triangle PAQ$ (cmt) nên $MN=PQ$ (hai cạnh tương ứng)

Do $MP\bot PQ$ nên $\widehat{MPQ}=90^0$

Xét $\triangle MNP$ và $\triangle PQM$ có:

$MP$ chung

$\widehat{NMP}=\widehat{MPQ}=90^0$

$MN=PQ$ (Cmt)

$\Rightarrow \triangle NMP=\triangle PQM$ (c.g.c)

$\Rightarrow NP=MQ$ (hai cạnh tương ứng)

d)

Xét $\triangle NAQ$ và $\triangle PAM$ có:

$NA=AP$ (do $A$ là trung điểm của $NP$-gt)

$\widehat{NAQ}=\widehat{PAM}$ (đối đỉnh)

$AM=AQ$  (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)

$\Rightarrow \triangle NAQ=\triangle PAM$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{NQA}=\widehat{AMP}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{CQA}=\widehat{AMB}$ 

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACQ$ có:

$MB=QC$ (gt)

$\widehat{AMB}=\widehat{CQA}$ (cmt)

$AM=AQ$  (do $A$ là trung điểm của $MQ$-gt)

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ACQ$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{CAQ}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{MAC}+\widehat{CAQ}=180^0$

mà $\widehat{MAB}=\widehat{CAQ}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{MAC}+\widehat{MAB}=180^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=180^0$

$\Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow đpcm$