Đáp án:

Ta có bảng xét dấu:

\begin{array}{|c|cc|}\hline x&-\infty & &1&&3&&+\infty\\\hline |x - 1|& &1 - x&0&x - 1 &|&x - 1&\\\hline | x - 3 |& &3-x&|&3-x&0&x-3&\\\hline\end{array}

`@` Với `x < 1` thì

     `1 - x + 3 - x < x + 1`

`=> -x - x - x < 1 - 1 - 3`

`=> -3x < -3`

`=> x > 1` (ko t/m `x < 1`)

`@` Với `1 <= x < 3` thì

     `x - 1 + 3 - x < x + 1`

`=> x - x - x < 1 + 1 - 3`

`=> -x < -1`

`=> x > 1`

Kết hợp với `1 <= x < 3`

       `=> 1 < x < 3`    `(1)`

`@` Với `x >= 3` thì

       `x - 1 + x - 3 < x + 1`

`=> x + x - x < 1 + 1 + 3`

`=> x < 5`

Kết hợp với `x >= 3`

     `=> 3 <= x < 5`    `(2)`

Từ `(1) ; (2) => 1 < x < 5`

Vậy `1 < x < 5`

Giải thích các bước giải:

Xét các trường hợp sau:

TH1:$x<1$ thì

$x-1<0\Rightarrow |x-1|=1-x$ và $x-3<0\Rightarrow |x-3|=3-x$

Bất phương trình trở thành:

$1-x+3-x<x+1\Rightarrow 4-2x<x+1\Rightarrow 3x>3\Rightarrow x>1$

Kiểm tra điều kiện ta kết luận được không tồn tại $x$,

TH2: $1\le x<3$ thì $x-1>0\Rightarrow |x-1|=x-1$ và

$x-3<0\Rightarrow |x-3|=3-x$

Bất phương trình trở thành $x-1+3-x<x+1\Rightarrow 2<x+1\Rightarrow x>1$

Kiểm tra điều kiện ta được $1<x<3$

TH3: $x\ge 3$ thì $x-1>0, x-3>0\Rightarrow |x-1|=x-1,|x-3|=x-3$
Bất phương trình trở thành
$x-1+x-3<x+1\Rightarrow 2x-4<x+1\Rightarrow x<5$

Kiểm tra điều kiện ta được $3\le x<5$ thỏa mãn
Từ trường hợp $2$, $3$ ta được $1<x<5$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.