Giải:

a) Xét △FDA vuông tại F và △EDA vuông tại E

Có: DA là cạnh chung

      FÂD = EÂD (gt)

=> △FDA = △EDA (ch-gn)

=> DF = DE (2 cạnh tương ứng)

=> △DEF cân tại D   (1)

Vì AD là phân giác ^CAB => ^CAD = ^BAD = ^CAB : 2 = 120* : 2 = 60*

Xét △FAD vuông tại F có: ^FAD + ^FDA = 90* (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)

=> 60* + ^FDA = 90*  => ^FDA = 30*

Mà ^FDA = ^EDA (△FDA = △EDA)  => ^EDA = 30*

Ta có: ^FDE = ^FDA + ^EDA = 30* + 30* = 60*  (2)

Từ (1) và (2) => △DEF đều

b) Ta có: AI = AF + FI  và AK = AE + EK

Mà AF = AE (△FDA = △EDA) ; FI = EK (gt)

=> AI = AK

Xét △IAD và △KAD 

Có: AI = AK (cmt)

  ^IAD = ^KAD (gt)

   AD là cạnh chung

=> △IAD = △KAD (c.g.c)

=> ID = KD (2 cạnh tương ứng)

=> △IDK cân tại D

c) AD // CM (gt) => ^DAB = ^CMB (2 góc đồng vị)

Mà ^DAB = 60o  => ^CMB = 60*  => ^CMA = 60*  (3)

Ta có: ^CAM + ^CAB = 180* (2 góc kề bù)

=> ^CAM + 120* = 180*   => ^CAM = 60*   (4)

Từ (3) , (4) => ^CMA = ^CAM => △CMA cân tại C mà ^CMA = 60*  => △MAC đều 

d) vì △MAC đều (cmt)
=> AC = AM = MC

Vì △ vuông FAD có: ^FDA = 30* (cmt)

=> AD = 2 . AF 

=> AD = 2 . (AC - CF)

=> AD = 2 . (CM - CF) = 2 . (m - n)