Đáp án:

a) $BC=9cm$

b) $DC=DB; AD<DB$

c) $AH//BC$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(cm)$

b)

Xét $\triangle MDC$ và $\triangle MDB$:

$DC=DB$ (gt)

$\widehat{DMC}=\widehat{DMB}\,\,\,(=90^o)$

$DM$: chung

$\to\triangle MDC=\triangle MDB$ (c.g.c)

$\to DC=DB$ (2 cạnh tương ứng)

$\triangle ADC$ vuông tại A (gt)

$\to AD<DC$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

$\to AD<DB$

c)

Xét $\triangle BGC$:

$BA\bot GC\,\,\,(BA\bot CA)$

$GM\bot BC$ (gt)

D là giao điểm của BA và GM

$\to$ D là trực tâm của $\triangle BGC$

$\to CD\bot BG$

Mà $DH\bot BG$ (gt)

$\to$ C, D, H thẳng hàng

Xét $\triangle HDB$ và $\triangle ADC$:

$\widehat{DHB}=\widehat{DAC}\,\,\,(=90^o)$

$DB=DC$ (cmt)

$\widehat{HDB}=\widehat{ADC}$ (đối đỉnh)

$\to\triangle HDB=\triangle ADC$ (ch - gn)

$\to DH=DA$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle HGD$ và $\triangle AGD$:

$\widehat{GHD}=\widehat{GAD}\,\,\,(=90^o)$

$GD$: chung

$DH=DA$ (cmt)

$\to\triangle HGD=\triangle AGD$ (ch - cgv)

$\to\widehat{HGD}=\widehat{AGD}$ (2 góc tương ứng)

$\to$ GD là phân giác của $\widehat{HGA}$

$\to HG=AG$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle GHA$ cân tại G

$\to$ GD đồng thời là đường cao của AH

$\to GD\bot AH$

Hay $GM\bot AH$

Lại có: $GM\bot BC$ (gt)

$\to AH//BC$