Đáp án:

Câu 1: Gọi ước chung của n+1 và 2n+1 là d

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n + 1 \vdots d\\
2n + 1 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {n + 1} \right) \vdots d\\
2n + 1 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow 2n + 2 - 2n - 1 \vdots d\\
 \Rightarrow 1 \vdots d\\
 \Rightarrow d = 1\\
 \Rightarrow \left( {n + 1;2n + 1} \right) = 1
\end{array}$

Câu 2: Gọi ước chung của 3n+5 và 2n+3 là d

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3n + 5 \vdots d\\
2n + 3 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {3n + 5} \right) \vdots d\\
3\left( {2n + 3} \right) \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6n + 10 \vdots d\\
6n + 9 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {6n + 10} \right) - \left( {6n + 9} \right) \vdots d\\
 \Rightarrow 1 \vdots d\\
 \Rightarrow d = 1\\
 \Rightarrow \left( {3n + 5;2n + 3} \right) = 1
\end{array}$
Câu 3:

Gọi số học sinh khối 6 là a (học sinh) (a>0)

=> 235<a<450

Vì khi chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4,chia 10 dư 9 nên 

a+1 chia hết cho 3;4;5;10

=> a+1 là BC(3;4;5;10)

Do BCNN(3;4;5;10)=60

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow a + 1 \in \left\{ {60;120;180;240;300;360;420;480;..} \right\}\\
 \Rightarrow a \in \left\{ {59;119;179;239;299;359;419;479;...} \right\}\\
Do:235 < a < 450\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 239\\
a = 299\\
a = 359\\
a = 419
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy số học sinh có thể là $239;299;359;419$ học sinh