`a,` * Xét tứ giác `ABOC` có:

`AB, AC` là tiếp tuyến `(O)`

`=> {(AB\botBO),(),(AC\botCO):}`

`=> \hat{ABO} = \hat{ACO} = 90^o`

`=> \hat{ABO} + \hat{ACO} = 180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau 

`=>` Tứ giác `ABOC` nội tiếp đường tròn `(O) `

`=> A,B,O,C` cùng thuộc một đường tròn `(1)`

* Xét tứ giác `AIOC` có:

`I` là trung điểm `MN`

Mà `MN` là dây

`OI` là một phần của đường kính

`=> OI \bot MN`

`=> \hat{MIO} = 90^o`

Lại có: `\hat{ACO} = 90^o (` cmt `)`

`=> \hat{MIO} + \hat{ACO} = 180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`=>` Tứ giác `AIOC` nội tiếp.

`=> A,I,O,C` cùng thuộc một đường tròn `(2)`

Từ `(1)` và `(2) => A,B,O,I,C` cùng thuộc một đường tròn.

`b,`

Có: `\hat{OBE} + \hat{OBC} = 180^o` (hai góc kề bù) `(1)`

Năm điểm `A,B,O,C,I` cùng thuộc một đường tròn đường kính `OA`

`=> \hat{OBC} = \hat{OAC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn `\stackrel\frown{OC}`)

 `\hat{OIB} + \hat{OAB} = 180^o` (*)

`\hat{OAB} = \hat{OAC}` (tính chất hai tiếp tuyến `AB` và `AC` cắt nhau)

Từ (1) và (2) `=> \hat{OBE} + \hat{OAC} = 180^o`

                          `\hat{OBE} + \hat{OAB} = 180^o` (**)

Từ (*) và (**) `=> \hat{OIB} = \hat{OBE}`

Xét `\triangle OIB` và `\triangle OBE` có:

`\hat{O}` chung

`\hat{OIB} = \hat{OBE}`

`=> \triangle OIB = \triangleOBE (g.g)`

`=> (OI)/(OB) = (OB)/(OE)` (t/c)

`<=> OB^2 = OI.OE`

`<=> R^2 = OI.OE`

`c,`

Nối `B` với `N`

Xét `(O)` có `\hat{BKC} = 1/2 sđ \stackrel\frown{BC}` (góc nội tiếp chắn `\stackrel\frown{BC}`) (3)

`\hat{ABC} = 1/2 sđ \stackrel\frown{BC}` (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Năm điểm `A,B,I,O,C` cùng thuộc đường tròn đường kính `OA`

`=> \hat{AIC} = \hat{ABC}` (hai góc nội tiếp cùng chắn `\stackrel\frown{AC}`)

`\hat{AIC} = 1/2 sđ \stackrel\frown{BC}` (4)

Từ (3) và (4) `=> \hat{BKC} = \hat{AIC}`

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

`=> BK` $\parallel$ `MN`

`=>` Khoảng cách từ `B` và `K` đến `AN` bằng nhau.

`=> `S_(\triangleABN) = S_(\triangleAKN)`

Ta tìm vị trí của cát tuyến `AMN` để `S_(ABN)` max

Từ `N` kẻ `NF \bot AB`

Có: 

`S_(ABN) = 1/2 AB.NF`

`AB` không đổi

`=> S_(ABN)` max `<=> NF` max

Xét `\triangleNIB` có:

`NF <=NB`

Kẻ đường kính `BS` ta được: `NB` max `<=> MN` trùng `BS`

Vậy khi `MN` là đường kính của đường tròn `(O)` thì diện tích tam giác `AKN` lớn nhất.