Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có tính chất AB+CD = AC+BD = AD+BC Thì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diện ABCD. - câu hỏi 1484833
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có tính chất AB+CD = AC+BD = AD+BC Thì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diện ABCD.
Lời giải 1 :
Đáp án:
Gọi O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnh M, N, P.
Gọi Δ1 là trục của đường tròn này thì Δ1 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.
Tương tự, nếu gọi Δ2 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABD thì Δ2 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABD .
Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp ΔABD là N1, Q, R (N1 thuộc AB).
Khi ấy, vì
AN=AB+AC−BC2,AN1=AB+AD−BD2
Mà AC+BD = AD+BC nên AN = AN1, từ đó N≡N1.
Suy ra AB⊥mp(O1NO2). Mặt khác, Δ1⊥AB và cắt mp(ABC) tại O1,Δ2 vuông góc với AB và cắt mp(ABD) tại O2 nên Δ1,Δ2 cùng nằm trong mp(O1NO2). Từ đó Δ1 cắt Δ2 tại O, đó là điểm cách đều năm cạnh AB, AC, BC, AD, BD của tứ diện ABCD hay
OM = ON = OP = OQ = OR. (1)
Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có Δ2 cắt Δ3 (Δ3 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ACD) tại O’ và
O’M = O’N = O’Q = O’R = O’S (2)
(S là điểm tiếp xúc của cạnh CD và đường tròn nội tiếp ΔACD).
Từ (1) và (2) ta có O, O’ cùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm M, N, Q, R mà M, N, Q, R không đồng phẳng, vậy O≡O′. Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó là ON.
chuc hoc tot.
Giải thích các bước giải:
Thảo luận
Lời giải 2 :
Đáp án:
ọi O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnh M, N, P.
Gọi Δ1 là trục của đường tròn này thì Δ1 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.
Tương tự, nếu gọi Δ2 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABD thì Δ2 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABD .
Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp ΔABD là N1, Q, R (N1 thuộc AB).
Khi ấy, vì
AN=AB+AC−BC2,AN1=AB+AD−BD2
Mà AC+BD = AD+BC nên AN = AN1, từ đó N≡N1.
Suy ra AB⊥mp(O1NO2). Mặt khác, Δ1⊥AB và cắt mp(ABC) tại O1,Δ2 vuông góc với AB và cắt mp(ABD) tại O2 nên Δ1,Δ2 cùng nằm trong mp(O1NO2). Từ đó Δ1 cắt Δ2 tại O, đó là điểm cách đều năm cạnh AB, AC, BC, AD, BD của tứ diện ABCD hay
OM = ON = OP = OQ = OR. (1)
Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có Δ2 cắt Δ3 (Δ3 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ACD) tại O’ và
O’M = O’N = O’Q = O’R = O’S (2)
(S là điểm tiếp xúc của cạnh CD và đường tròn nội tiếp ΔACD).
Từ (1) và (2) ta có O, O’ cùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm M, N, Q, R mà M, N, Q, R không đồng phẳng, vậy O≡O′. Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó là ON.
chuc hoc tot.
Giải thích các bước giải:
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK