Đáp án + giải thích các bước giải:

\begin{array}{l}\text{a) Ta có:} \\\left.\begin{matrix}AE\bot Bx \\ CF\bot Cx\end{matrix}\right\}\rightarrow AE//CF \text{ (từ } \bot\text{ đến } // ) \rightarrow \widehat{EAM}=\widehat{FCM} \text{ (so le trong})\\\text{Xét } \Delta AME \text{ và } \Delta CMF \text{, có:}\\\left.\begin{matrix} \widehat{EAM}=\widehat{FCM} \text{ (cmt)}\\MA=MC \text{ (M là trung điểm AC)}\\ \widehat{EMA}=\widehat{CMF} \text{ (đối đỉnh)} \end{matrix}\right\} \rightarrow \Delta AME = \Delta CMF \text{ (g.c.g)}\\\text{b) Ta có: } \Delta AME = \Delta CMF \text{ (cmt)}\\\rightarrow ME=MF \text{ (cặp cạnh tương ứng)}\\\text{Xét } \Delta EMC \text{ và } \Delta FMA \text{, có:}\\\left.\begin{matrix} ME=MF \text{ (cmt)}\\ \widehat{EMC}=\widehat{FMA} \text{ (đối đỉnh)} \\MA=MC \text{ (M là trung điểm AC)}\end{matrix}\right\} \rightarrow \Delta EMC = \Delta FMA \text{ (c.g.c)}\rightarrow\widehat{MEC}=\widehat{MFA} \text{ (cặp góc tương ứng)}\\\text{mà hai góc này ở vị trí so le trong}\\\rightarrow AF//EC\\\text{c) Ta có: } \Delta EMC = \Delta FMA \text{ (cmt)}\\\rightarrow EC=AF\\\rightarrow \dfrac{EC}{2}=\dfrac{AF}{2} \text{ (1)}\\\text{Lại có:} \left\{\begin{matrix} \text{P là trung điểm AF} \rightarrow AP=\dfrac{AF}{2} \text{ (2)}\\ \text{Q là trung điểm EC} \rightarrow CQ=\dfrac{EC}{2} \text{ (3)} \end{matrix}\right.\\\text{ Từ (1);(2);(3)} \rightarrow AP=CQ\\\text{Xét } \Delta AMP \text{ và } \Delta CMQ \text{, có:}\\\left.\begin{matrix} AP=CQ \text{ (cmt)} \\\widehat{PAM}=\widehat{QCM} \text{ (so le trong)}\\MA=MC \text{ (M là trung điểm AC)}\\ \end{matrix}\right\} \rightarrow \Delta AMP = \Delta CMQ \text{ (c.g.c)} \rightarrow \widehat{AMP}=\widehat{CMQ} \text{ (cặp góc tương ứng)}\\\text{mà } \widehat{AMP}+\widehat{PMC}=180^0 \text{ (hai góc kề bù)}\\\rightarrow \widehat{CMQ}+\widehat{PMC}=180^0\\ \rightarrow \widehat{QMP}=180^0\\\rightarrow \text{P,M,Q thẳng hàng} \end{array}