Đáp án:

a) $19$

b) $598$ 

Giải thích các bước giải:

a) 

Do $n$ chia cho $4$ có số dư là $3$ nên $n-3 \vdots 4\Rightarrow n-3+4 \vdots 4\Rightarrow n+1 \vdots 4$

Do $n$ chia cho $5$ có số dư là $4$ nên $n-4 \vdots 5\Rightarrow n-4+5\vdots 5\Rightarrow n+1 \vdots 5$

Suy ra $n\in BC(4,5)=B(20)$

Do đó: $n=20k-1 (k\in\mathbb{N}^*)$

Do $n$ chia cho $3$ dư $1$ nên $n-1\vdots 3\Rightarrow 20k-1-1\vdots 3\Rightarrow 20k-2\vdots 3$

Ta thấy với $k=1$ thì ta được $18\vdots 3$. Vậy số tự nhiên $n$ nhỏ nhất là $19$.

b)

Do $n$ chia cho $8$ có số dư là $6$ nên $n-6 \vdots 8\Rightarrow n-6+8 \vdots 8\Rightarrow n+2\vdots 8$

Do $n$ chia cho $12$ có số dư là $10$ nên $n-10 \vdots 12\Rightarrow n-10+12\vdots 12\Rightarrow n+2 \vdots 12$

Do $n$ chia cho $15$ có số dư là $13$ nên $n-13 \vdots 15\Rightarrow n-13+15\vdots 15\Rightarrow n+2 \vdots 15$

Khi đó $n+2\in BC(8,12,15)=B(120)$

Suy ra $n$ có dạng: $n=120k-2 (k\in\mathbb{N}^*)$

Lần lượt cho $k=1,2,3,\ldots$ đến $k=5$ thì ta được $n=598$ chia hết cho $23$. 

Vậy số tự nhiên $n$ nhỏ nhất bằng $598$.