a) Xét $\Delta$$ANO$ và $\Delta$$ABM$, có:

$.\widehat{A}$ chung

$\widehat{AON}$$=$`90^@`(CO⊥AB)

$\widehat{AMB}$$=$`90^@`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

->$\widehat{AON}$$=$$\widehat{AMB}$$=$`90^@`

=> $\Delta$$ANO$ đồng dạng với $\Delta$$ABM$(g.g)

=>`(AN)/(AB)`$=$`(AO)/(AM)`

=>$AM.AN=AB.AO$

Mà AB=2R

AO=R

=>$AM.AN=2R.R=2R^2$

b) Xét tứ giác MNOB, có:

$.\widehat{NOB}$$=$`90^@`(CO⊥AB)

$.\widehat{AMB}$$=$`90^@`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

-> $\widehat{NOB}$$+$$\widehat{AMB}$$=$`180^@`

=>Tứ giác MNOB nội tiếp.

Xét tứ giác AODC, có:

$.\widehat{CDA}$$=$`90^@`(CD⊥AM)

$.\widehat{AON}$$=$`90^@`(CO⊥AB)

-> 2 đỉnh D và O cùng nhìn đoạn CA với một góc bằng `90^@`

=>Tứ giác AODC nội tiếp.

c) $\Delta$$COD$ cân khi: 

$\widehat{OCD}$$=$$\widehat{DOC}$(1)

Xét tứ giác AODC, có:

$.\widehat{DOC}$$=$$\widehat{DAC}$(cùng chắn cung CD)

$.\widehat{OCD}$$=$$\widehat{OAD}$(cùng chắn cung DO)

Từ (1)->$\widehat{DAC}$$=$$\widehat{OAD}$

Mà AD nằm giữa CA và CO

-> AD là tia phân giác của $\widehat{OAC}$

Lại có D thuộc AM

-> AM là tia phân giác của $\widehat{OAC}$

2 góc của tia phân giác chia một cung làm 2 cung nhỏ bằng nhau

=> M nằm ở trung điểm của cung BC thì $\Delta$$COD$ cân tại D

1