`a)`

   Xét đường tròn (O) dây AD có BC là đường kính 

            mà `AD ⊥ BC`

    ⇒ ` BC `là đường trung trực của `AB`

    ⇒   `AB = BD`

    ⇒ `ΔABD cân tại B`

    Mà `BI` là đường cao

    ⇒ `BI `đồng thời là đường phân giác

    ⇒$\widehat{B_{1}}$ =$\widehat{B_{2}}$ ( T/c tia pg )

   Ta có $\widehat{B_{1}}$ =$\widehat{B_{4}}$ (đối đỉnh)

            $\widehat{B_{2}}$ =$\widehat{B_{3}}$ (đối đỉnh)

    ⇒   $\widehat{B_{3}}$ =$\widehat{B_{4}}$ 

  Xét `ΔEBF` có 

    `BH` là đường pg ( $\widehat{B_{3}}$ =$\widehat{B_{4}}$ )

  Mà BH đồng thời là đường cao

⇒ `ΔEBF` cân tại B

⇒ `HE =HF` ( BH là đường trung tuyến )

` ΔABC` nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính 

⇒` ΔABC` vuông tại A 

⇒ `AB ⊥ AC`

hay `AF ⊥AE`

Xét `ΔEAF` vuông tại A (`AF ⊥AE`) có 

    `HA` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `EF`

⇒ ` HA= HE = HF ` = $\frac{BC}{2}$  ( T/c đường trung tuyến trong Δ vuông )

⇒ `ΔHAF` cân tại H (đpcm)

`b)`

  `ΔHAF` cân tại H (cmt)

  ⇒  $\widehat{A_{2}}$ =$\widehat{F_{1}}$  ( T/c Δ cân )

Ta có `AD⊥HC` ( `AD ⊥BC`)

          `HF ⊥ HC` ( GT)

   ⇒  ` AD // HF` ( Quan hệ từ ⊥ đến // )

   ⇒   $\widehat{A_{3}}$ =$\widehat{F_{1}}$  ( 2 góc slt )

  Mà   $\widehat{A_{2}}$ =$\widehat{F_{1}}$  (cmt)

     ⇒ $\widehat{A_{3}}$ =$\widehat{A_{3}}$  ( cùng =$\widehat{F_{1}}$  )

     ⇒ AB là phân giác của góc $\widehat{HAD}$ (đpcm)

`c)`

    Xét  `ΔAIC` và `ΔDIC` có 

        IC chung

        $\widehat{AIC}$ =$\widehat{AID}$ =`90^o` (`AB⊥ BC`) 

        `IA =ID`( `BC`là đường trung trực của `AD` )

      ⇒ `ΔAIC =ΔDIC` `( c-g-c)`

      `⇒` $\widehat{C_{1}}$ =$\widehat{C_{2}}$ (2 góc tương ứng)

      Xét  `ΔABC` và `ΔHFC` có  

    $\widehat{ABC}$ =$\widehat{FHC}$ =`90^o`

    $\widehat{C_{1}}$ =$\widehat{C_{2}}$ (cmt)

 `⇒`  `ΔABC ∼ ΔHFC` `(g-g)`

 `⇒` `(AC)/(HC)`= `(BC)/(CF)`

` ⇒` `AC.CF=BC.HC` (đpcm)