a) 
Xét ΔABC có
+ M là trung điểm AB
+ N là trung điểm BC
⇒ MN là đường trung bình ΔABC
⇒ $\left \{ {{MN//AC} \atop {MN=AC:2}} \right.$ 
Lại có P là trung điểm AC⇒ $\left \{ {{MN//AP} \atop {AP=AC:2}} \right.$ 
⇒ $\left \{ {{MN//AP} \atop {MN=AP}} \right.$ 
⇒ AMNP là hình bình hành
Lại có $\widehat{A}$=$90^\circ$
⇒ AMNP là hình chữ nhật
Có M là trung điểm AB⇒ MA=AB:2
Có P là trung điểm AC⇒ AP=AC:2
⇒ MA=AP
⇒ AMNP là hình vuông
b)
Vì MN là đường trung bình ΔABC⇒ MN=AC:2⇒ AC=2MN
Vì I đối xứng với N qua M⇒ MI=MN
⇒ MI+MN=AC⇒ IN=AC
Vì AMNP là hình vuông⇒ MN//AC⇒ IN//AC
⇒ INCA là hình bình hành
c) 
Xét tứ giác BIAN có
+ M là trung điểm IN
+ M là trung điểm AB
⇒ BIAN là hình bình hành
Lại có $\widehat{M}$=$90^\circ$
⇒ BIAN là hình thoi
Vì INCA là hình bình hành⇒ IN=AC
Mà AC=AB⇒ IN=AB
⇒ BIAN là hình vuông