a)$ a)A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \\ B{C^2} = {10^2} = 100 \\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \\ \Rightarrow \Delta ABC \bot A \\ $

b) $BD$ là tia phân giác góc $B$

$ \Rightarrow \widehat {AB{\text{D}}} = \widehat {DBE}$

Xét $\Delta AB{\text{D}}$ và $ \Delta EB{\text{D}}$, ta có: $ \widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {DEB}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {AB{\text{D}}} = \widehat {DBE} \\ $

$BD$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta AB{\text{D}} = \Delta EB{\text{D}}$

$ \Rightarrow DA = DE \\ c)\widehat {B{\text{D}}E} = \widehat {DBA} < \widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {F{\text{AD}}} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow DE < DF \\ d)\Delta AB{\text{D}} = \Delta EB{\text{D}} \\ \Rightarrow AB = BE(1) \\ $

Xét $\Delta DAF $ và $ \Delta DEC$, ta có:

$ \widehat {FAD} = \widehat {DEC}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {ADF} = \widehat {EDC} \\ DA = DE \\ $

$\Rightarrow \Delta DAF = \Delta DEC(g - c - g)$

$ \Rightarrow AF = EC (2) \\ (1)(2)\Rightarrow BF = BC \\ $

$ \Rightarrow \Delta BFC$ cân tại $B$

$ CA \bot BF $

$\Rightarrow CA $ là đường cao của tam giác

$FE \bot BC$

$\Rightarrow FE $ là đường cao của tam giác

Mà $D = FE \cap AC$

$\Rightarrow BD $ là đường cao của tam giác

$\Rightarrow BD $ là đường trung trực của tam giác