`a)`

Vì tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt $OA$ tại $M$ nên $MB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>MB` $\perp {OB}$

`=>∆OBM` vuông tại $B$

`b)`

+) Ta có:

$OA=OB=5cm$ (bằng bán kính $(O)$)

$OH=3cm$(gt)

$BC\perp {OA}$ tại $H$

`=>∆OBH` vuông tại $H$

$BH^2+OH^2=OB^2$ (Pytago)

`=>BH^2=OB^2-OH^2=5^2-3^2=16`

`=>BH=4cm`

+) $∆OBM$ vuông tại $M$

`=>1/{BH^2} =1/{BM^2}+1/{OB^2} ` 

(hệ thức giữa cạnh và đường cao)

`=>1/{4^2}=1/{BM^2}+1/{5^2}`

`=>1/{BM^2}=1/{16}-1/{25}=9/{400}`

`=>BM={20}/3`cm

Vậy `BH=4cm; BM={20}/3`cm

`c)`

+) $BC\perp {OA}$ tại $H$

`=>H` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>OM` là đường trung trực của $BC$

`=>MC=MB`

+) Xét $∆OCM$ và $∆OBM$ có:

*$OM$ chung

*$OC=OB$ (=bán kính $(O)$)

*$MC=MB$ (c/m trên)

`=>∆OCM= ∆OBM(c-c-c)`

`=>\hat{OCM}=\hat{OBM}=90° =>MC` $\perp OC$

Vì $OC$ là bán kính của $(O)$ và $MC \perp OC$ tại $C$ nên $MC$ là tiếp tuyến của $(O)$.

`d)`

Gọi $I$ là trung điểm $OM$

`=>BI;CI` lần lượt là trung tuyến của hai ∆vuông $∆OBM;∆OCM$

`=>BI=1/ 2 OM=IM=OI=CI`

`=>I` cách đều $4$ điểm $O;B;M;C$

Vậy đường tròn đi qua $4$ điểm $O;B;M;C$ có tâm $I$ là trung điểm của $OM$.