Đáp án+Giải thích các bước giải:

`AI nn MN={K}`

`=>` Ta đã có `A, K, I` thẳng hàng

`=>` Cần chứng minh `K,O,I` thẳng hàng

Áp dụng hệ quả định lý Talet vào `\triangle OBC` có `MN //// BC (M \in OC, N \in OB)`

Nên `(MN)/(BC)=(ON)/(OB)`

Hay: `(2KN)/(2BI)=(ON)/(OB)`

`=> (KN)/(BI)=(ON)/(OB)`

`<=> (KN)/(ON)=(BI)/(OB)`

Mà `MN //// BC`

`=> \hat{KNO}=\hat{OBI}` (so le trong)

Xét `\triangle KNO` và `\triangle IBO` có:

`\hat{KNO}=\hat{IBO}` (cmt)

`(KN)/(ON)=(IB)/(OB)` (cmt)

Nên `\triangle KNO` $\backsim$ `\triangle IBO (c-g-c)`

`=> \hat{KON}=\hat{IOB}` (`2` góc tương ứng)

`=> \hat{KON}+\hat{KOB}=\hat{IOB}+\hat{KOB}`

`=> \hat{NOB}=\hat{KOI}`

Mà `\hat{NOB}=180^o`

`=> \hat{KOI}=180^o`

`=> K,O,I` thẳng hàng

Mà ta đã có `A,K,I` thẳng hàng do `AI \nn MN={K}`

`=> A,K,O,I` thẳng hàng (đpcm)

Lưu ý: Đây là bổ đề hình thang. Phát biểu: Trong hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng.

$MN//BC\to BMNC$ là hình thang ($MN//BC$)

Xét hình thang $BMNC$ ($MN//BC$) có:

$BM∩NC=A, K$ là trung điểm $MN, I$ là trung điểm $BC, O=MC∩NB$

Theo bổ đề hình thang ta có:

$A,K,O,I$ thẳng hàng.